حاسبة نظرية فيثاغورس

نظرية فيثاغورس هي علاقة أساسية في الهندسة الإقليدية بين أضلاع المثلث القائم الثلاثة. تنص على أن مربع الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين (القائمين).

$a^2 + b^2 = c^2$

حيث:

• $a$ و $b$ هما طولا الضلعين القائمين
• $c$ هو طول الوتر (أطول ضلع)

الحل لكل ضلع

• الوتر: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• الضلع $a$: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• الضلع $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

ملاحظة تاريخية

سُمّيت تيمنًا بالرياضياتي اليوناني القديم فيثاغورس (حوالي 570–495 ق.م)، وكانت معروفة لرياضياتيي بابل قبل ذلك بأكثر من ألف عام. وهي إحدى أكثر النظريات إثباتًا في الرياضيات، بمئات البراهين المتمايزة.

الثلاثيات الفيثاغورية

الثلاثية الفيثاغورية تتكون من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة $a$، $b$، $c$ تحقق $a^2 + b^2 = c^2$. أمثلة شائعة:

• $(3, 4, 5)$
• $(5, 12, 13)$
• $(8, 15, 17)$
• $(7, 24, 25)$

العملية خطوة بخطوة

1. حدّد الزاوية القائمة وسمِّ الأضلاع: $a$، $b$ (قائمان) و $c$ (الوتر)
2. عيّن أي ضلع مجهول
3. عوّض القيم المعروفة في $a^2 + b^2 = c^2$
4. حل للضلع المجهول
5. بسّط النتيجة (صورة دقيقة أو عشرية)

إيجاد الوتر

بالنظر إلى الضلعين القائمين $a$ و $b$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

مثال: إذا كان $a = 6$ و $b = 8$، فإن $c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

إيجاد ضلع قائم

بالنظر إلى الوتر $c$ وأحد الضلعين $a$:

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

مثال: إذا كان $c = 13$ و $a = 5$، فإن $b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

التحقق مما إذا كان المثلث قائمًا

بالنظر إلى الأضلاع الثلاثة، تحقق مما إذا كان $a^2 + b^2 = c^2$ (حيث $c$ أطول ضلع):

• إذا كان $a^2 + b^2 = c^2$: مثلث قائم
• إذا كان $a^2 + b^2 > c^2$: مثلث حاد الزوايا
• إذا كان $a^2 + b^2 < c^2$: مثلث منفرج الزاوية

الصلة بقانون المسافة

المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ مشتقة من نظرية فيثاغورس:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

الصيغ الشائعة

• الخلط بين الوتر وضلع قائم — الوتر دائمًا أطول ضلع مقابل للزاوية القائمة. استخدامه كضلع قائم في الصيغة يعطي نتائج خاطئة.
• نسيان أخذ الجذر التربيعي — بعد حساب $a^2 + b^2$، يجب أن تأخذ $\sqrt{a^2 + b^2}$ للحصول على $c$، لا تتركه كـ $a^2 + b^2$.
• الطرح في الاتجاه الخاطئ — عند إيجاد ضلع قائم، احسب $c^2 - a^2$، وليس $a^2 - c^2$ (الذي سيعطي عددًا سالبًا تحت الجذر).
• تطبيق النظرية على مثلثات غير قائمة — نظرية فيثاغورس تعمل فقط للمثلثات القائمة. للمثلثات الأخرى، استخدم قانون جيب التمام.
• التقريب مبكرًا جدًا — احتفظ بالقيمة الدقيقة تحت الجذر التربيعي أطول فترة ممكنة للحفاظ على الدقة.