حاسبة المشتقات الجزئية

المشتقة الجزئية تقيس مدى تغير دالة متعددة المتغيرات بالنسبة لمتغير واحد مع تثبيت البقية. بالنسبة لـ $f(x, y)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

الرمز $\partial$ (d المجعّدة) يميّز المشتقات الجزئية عن المشتقات العادية $\frac{d}{dx}$. الرموز المكافئة تشمل $f_x$، $\partial_x f$، $D_x f$.

المعنى الهندسي: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ هو ميل السطح $z = f(x,y)$ عند $(a,b)$ في اتجاه $x$ — يقع المماس في المستوى $y = b$.

لماذا هذا مهم: الهبوط التدرجي والتحسين وانتشار الخطأ ومعظم حساب المتجهات يعتمد على المشتقات الجزئية. التدرج $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ يشير في اتجاه أشد صعود.

القاعدة 1: عامل المتغيرات الأخرى كثوابت

لإيجاد $\frac{\partial f}{\partial x}$، عامل $y, z, \ldots$ كـثوابت واشتق $f$ كدالة بمتغير واحد $x$.

مثال: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (يختفي $3y$ لأنه لا يحتوي على $x$)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ يعمل كمعامل)

القاعدة 2: قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب لا تزالان تنطبقان

بالنسبة لـ $f(x, y) = \sin(xy)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

يُعامل $y$ داخل القوس كمعامل ثابت عند اشتقاق $xy$ بالنسبة لـ $x$.

المشتقات الجزئية ذات الرتب العليا

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

نظرية كليرو (المشتقات المختلطة): إذا كان لـ $f$ مشتقات ثانية متصلة، فإن $f_{xy} = f_{yx}$. ترتيب الاشتقاق لا يهم.

التدرج والمشتقة الاتجاهية

التدرج هو متجه جميع المشتقات الأولى:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

المشتقة الاتجاهية في الاتجاه $\mathbf{u}$ (متجه وحدة) هي:

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

تُعظَّم عندما يشير $\mathbf{u}$ على طول $\nabla f$ — هذا هو اتجاه أشد صعود.

قاعدة السلسلة (متعددة المتغيرات)

إذا كان $z = f(x, y)$ و $x = x(t), y = y(t)$:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• اشتقاق المتغير الخاطئ: حدّد دائمًا أي متغير 'حي' وأيها مثبت كثوابت. تسطير المتغير الحي في مسوّداتك يساعد.
• نسيان قاعدة السلسلة: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$، وليس $\cos(xy)$ فقط.
• خلط الرموز: $f_{xy}$ يعني الاشتقاق أولًا بالنسبة لـ $x$، ثم $y$ (بعض الكتب تعكس هذا — تحقق من الاصطلاح).
• اتجاه تدرج خاطئ: $\nabla f$ يشير في اتجاه أشد صعود، وليس الحركة. للتصغير، تحرك عكس $\nabla f$.
• خلط المشتقات الجزئية والكلية: عندما يعتمد كل من $x$ و $y$ على $t$، استخدم قاعدة السلسلة — وليس $\partial f/\partial t$، التي تساوي صفرًا إذا لم تحتوِ $f$ على $t$ صريح.