حاسبة التكامل المعتل

التكامل المعتل هو تكامل محدد حيث إما:

1. الفترة لانهائية: مثلًا، $\int_1^\infty f(x)\,dx$ أو $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$
2. الدالة لها خط مقارب رأسي داخل أو عند نهاية الفترة: مثلًا، $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

في كلتا الحالتين، يكون تكامل ريمان القياسي غير معرّف، لكن يمكننا أحيانًا تعيين قيمة منتهية باستخدام النهايات.

إذا كانت النهاية موجودة ومنتهية، فإن التكامل المعتل يتقارب. إذا كانت النهاية لانهائية أو غير موجودة، فإن التكامل يتباعد.

التكاملات المعتلة مركزية في الاحتمال (ثوابت التطبيع)، وتحويلات لابلاس وفورييه، واختبارات تقارب المتسلسلات.

النوع 1: فترة لانهائية

استبدل ما لا نهاية بنهاية:

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$

إذا كان كلا الحدين لانهائيًا، قسّم عند أي نقطة مناسبة $c$:

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx$

يجب أن يتقارب كلا الجزأين بشكل مستقل — وإلا يتباعد التكامل بأكمله.

النوع 2: دالة غير محدودة

إذا كانت $f$ غير محدودة عند $x = c$ داخل $[a, b]$، قسّم وخذ النهايات:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$

إذا كانت الشذوذية عند $x = a$:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$

اختبار $p$

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converges if } p > 1, \text{ diverges if } p \leq 1$

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converges if } p < 1, \text{ diverges if } p \geq 1$

الأس الحرج هو $p = 1$. لاحظ قواعد التقارب المتعاكسة للحالتين.

اختبار المقارنة

إذا كان $0 \leq f(x) \leq g(x)$ على الفترة:

• $\int g$ يتقارب $\Rightarrow \int f$ يتقارب
• $\int f$ يتباعد $\Rightarrow \int g$ يتباعد

مفيد عندما يكون التكامل نفسه صعبًا لكن الحد سهل.

• معاملة $\infty$ كعدد: لا يمكنك 'التعويض' بـ $\infty$. يجب أن تستخدم نهاية.
• إغفال الشذوذيات الداخلية: $\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx$ له شذوذية عند $0$ داخل الفترة. الحساب الساذج يعطي $0$ (خطأ) — التكامل في الواقع يتباعد.
• جمع تكاملات معتلة متقطعة 'تتلاشى': $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ — كلا النصفين يتباعد، إذًا يتباعد التكامل. 'القيمة الأساسية' مفهوم مختلف (أضعف).
• اتجاه خاطئ لاختبار $p$: عند $\infty$، $1/x^p$ يتقارب لـ $p > 1$. عند $0$، يتقارب لـ $p < 1$. هذان متعاكسان — احفظ كليهما.
• نسيان التحقق من التقارب قبل التكامل: التكامل المعتل المتباعد ليس له قيمة. تحقق دائمًا من التقارب أولًا.