حاسبة التكامل الثنائي

التكامل الثنائي يحسب تراكم دالة $f(x, y)$ على منطقة ثنائية الأبعاد $D$:

$\iint_D f(x,y)\,dA$

حيث $dA$ هو عنصر المساحة المتناهي في الصغر. في الإحداثيات الكارتيزية $dA = dx\,dy$؛ في الإحداثيات القطبية $dA = r\,dr\,d\theta$.

المعاني الفيزيائية الشائعة:

• $f(x,y) = 1$ يعطي مساحة $D$.
• $f(x,y) = h(x,y)$ (دالة الارتفاع) يعطي الحجم تحت السطح $z = h(x,y)$ فوق $D$.
• $f = \rho(x,y)$ (الكثافة السطحية) يعطي كتلة صفيحة رقيقة.

المهارات الأساسية هي: اختيار الإحداثيات، وإعداد الحدود، والحساب كتكاملات أحادية متكررة باستخدام نظرية فوبيني.

نظرية فوبيني

بالنسبة لدالة متصلة $f$ على مستطيل $D = [a, b] \times [c, d]$:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

أي ترتيب يعمل، لذا اختر الأسهل في التكامل.

المناطق من النوع I والنوع II

النوع I ($y$ محصور بمنحنيات في $x$):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

النوع II ($x$ محصور بمنحنيات في $y$):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

الإحداثيات القطبية

بالنسبة للمناطق ذات التناظر الدائري، استخدم $x = r\cos\theta$، $y = r\sin\theta$، $dA = r\,dr\,d\theta$:

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

عامل $r$ من اليعقوبي ضروري — نسيانه هو الخطأ الأكثر شيوعًا.

متى تبدّل ترتيب التكامل

إذا أصبح التكامل الداخلي مستعصيًا (مثلًا، $\int e^{x^2}\,dx$ ليس له مشتق عكسي ابتدائي)، فإن تبديل ترتيب التكامل غالبًا ما يجعل المسألة قابلة للحل. ارسم المنطقة أولًا لإيجاد حدود مكافئة بالترتيب الآخر.

• ترتيب حدود خاطئ: قد تعتمد الحدود الداخلية على المتغيرات الخارجية، لكن الحدود الخارجية يجب أن تكون ثوابت. العكس = إجابة خاطئة.
• نسيان اليعقوبي القطبي: $dA = r\,dr\,d\theta$، وليس $dr\,d\theta$.
• عدم رسم المنطقة: بالنسبة لـ $D$ غير المستطيلة، الرسم يجعل النوع I مقابل النوع II واضحًا.
• محاولة تكامل دوال داخلية مستحيلة: إذا واجهت $\int e^{x^2}\,dx$ أو دالة غير ابتدائية مشابهة، بدّل الترتيب قبل الاستسلام.
• أخطاء الإشارة مع الدوال السالبة: إذا غيّر $f$ إشارته على $D$، يمكن أن يكون التكامل الثنائي صفرًا — هذا صحيح، وليس خطأ يجب 'إصلاحه'.