المشتقة مقابل التفاضل

المشتقة والتفاضل كائنان رياضيان مترابطان بشكل وثيق لكنهما متمايزان، والخلط بينهما مصدر كثير من الأخطاء الدقيقة في التفاضل والتكامل.

المشتقة

المشتقة $f'(x)$ (أو $\frac{dy}{dx}$) دالة تعطي معدّل تغيّر $f$ عند كل $x$. لـ $f(x) = x^2$، $f'(x) = 2x$.

عدديًا: عند $x = 3$، $f'(3) = 6$ — ميل المماس عند تلك النقطة.

التفاضل

التفاضل $dy$ تغيّر متناهٍ في الصغر في $y$ يقابل تغيّرًا متناهيًا في الصغر $dx$ في $x$:

$dy = f'(x) \, dx$

لـ $y = x^2$: $dy = 2x \, dx$.

تتيح التفاضلات كتابة المشتقات على هيئة نسب بين متناهيات الصغر — وهو مفيد في التعويض (تعويض $u$ في التكاملات: $du = u'(x) dx$) وفي فصل المتغيرات للمعادلات التفاضلية.

متى يهمّ الفرق

في التكاملات: $\int 2x \, dx$ يستخدم التفاضل $dx$، لا المشتقة.

في التفاضل الضمني: من $x^2 + y^2 = 25$، خذ التفاضلات: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$، ثم حلّ بالنسبة إلى $\frac{dy}{dx}$.

في الفيزياء: $dW = F \, dx$ (الشغل كتفاضل)، لا "الشغل يساوي مشتقة القوة".

التقريب الخطي

يعمل $dy$ أيضًا بوصفه تقريبًا خطيًا لـ $\Delta y$ (التغيّر الفعلي) من أجل $dx$ صغيرة:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

هذا أساس انتشار الخطأ وطريقة نيوتن وأساس التقريب الخطي للتفاضل والتكامل بأكمله.

الخلاصة

استخدم المشتقة $f'(x)$ عندما تريد معدّلًا / دالة. استخدم التفاضل $dy = f'(x) dx$ عندما تريد تغيّرًا متناهيًا في الصغر، خصوصًا في التكاملات أو التعويض أو المعادلات التفاضلية.