المعدلات المترابطة: استراتيجية قابلة للتكرار من 6 خطوات لحل المسائل

تبدو مسائل المعدلات المترابطة مجردة — "ينزلق سلّم على جدار، فما سرعة سقوط قمته؟" — لكنها جميعًا تتبع النمط نفسه المكوّن من ست خطوات. أتقِن الوصفة وستتحول هذه المسائل من مرعبة إلى آلية.

الوصفة المكوّنة من 6 خطوات

1. اقرأ المسألة مرتين وحدِّد كل كمية. ارسم لها رسمًا تخطيطيًا.
2. سمِّ الكميات التي تتغير بحروف؛ والثوابت بأرقام.
3. أوجد معادلة تربط الكميات المتغيرة (هندسة، فيثاغورس، مثلثات متشابهة، مساحة، حجم…).
4. اشتق الطرفين بالنسبة إلى الزمن $t$ اشتقاقًا ضمنيًا. كل كمية متغيرة تسهم بحدٍّ من الصورة $\frac{d \cdot}{dt}$.
5. عوّض بقيم اللقطة الآنية فقط بعد الاشتقاق. التعويض المبكر جدًا يقضي على معلومات المعدّل.
6. حلّ لإيجاد المعدّل المجهول وتحقّق من الوحدات مرة أخرى.

المثال 1: السلّم المنزلق

سلّم طوله 13 قدمًا يستند إلى جدار. تنزلق قاعدته نحو الخارج بمعدل 2 قدم/ث. ما سرعة انزلاق القمة إلى الأسفل عندما تبعد القاعدة 5 أقدام عن الجدار؟

1. المتغيرات: $x$ = مسافة القاعدة، $y$ = ارتفاع القمة. كلاهما يتغير مع $t$.
2. القيد: $x^2 + y^2 = 169$ (فيثاغورس — طول السلّم ثابت).
3. الاشتقاق: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$.
4. اللقطة الآنية: $x = 5$، إذن $y = \sqrt{169 - 25} = 12$. معطى أن $\frac{dx}{dt} = 2$.
5. الحل: $2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ قدم/ث.

تسقط القمة بمعدل $5/6$ قدم/ث. الإشارة السالبة تعني أن الارتفاع يتناقص — يجتاز اختبار المعقولية.

المثال 2: المخروط الذي يمتلئ بالماء

يُصبّ الماء في مخروط (رأسه إلى الأسفل) بمعدل $3 \text{ ft}^3/\text{min}$. ارتفاع المخروط 10 أقدام ونصف قطره العلوي 4 أقدام. ما سرعة ارتفاع منسوب الماء عندما يكون العمق 6 أقدام؟

1. المتغيرات: $V$ = حجم الماء، $h$ = عمق الماء، $r$ = نصف قطر سطح الماء.
2. حجم المخروط: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. استخدم المثلثات المتشابهة: $r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$.
3. عوّض ليصبح بمتغير واحد: $V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$.
4. الاشتقاق: $\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
5. عوّض $h = 6$، $\frac{dV}{dt} = 3$: $3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$.
6. الحل: $\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ قدم/دقيقة.

أخطاء شائعة

• التعويض بالأرقام مبكرًا جدًا — المشتقات "تجمّد" العلاقة؛ فتفقد المعلومات عن كيفية تغيّر الأشياء.
• نسيان قاعدة السلسلة عند اشتقاق شيء مثل $r^2$ — فيصبح $2r \frac{dr}{dt}$، وليس $2r$.
• عدم إزالة المتغيرات الإضافية بالمثلثات المتشابهة قبل الاشتقاق.

جرّب باستخدام حلّال المشتقات بالذكاء الاصطناعي

استخدم حاسبة المشتقات للتحقق من أي خطوة اشتقاق في المعدلات المترابطة — وخصوصًا الخطوات الضمنية.

مراجع ذات صلة:

• حاسبة النهايات — المشتقات في جوهرها نهايات
• حاسبة التكامل — رفيق الدالة الأصلية
• حلّال المثلثات — للإعداد الهندسي للعديد من المسائل