إكمال المربع: شرح خطوة بخطوة يتّضح أخيرًا

إكمال المربع هو إحدى حركات الجبر التي يراها الطلاب مرة واحدة ثم ينسونها. لكنه التقنية الوحيدة التي تقف خلف الصيغة التربيعية، وصيغة الرأس للقطع المكافئ، وعدة تكاملات شائعة في حساب التفاضل والتكامل. وما إن تستوعب الحيلة حتى تمتلك أداةً ستستخدمها إلى الأبد.

الفكرة الجوهرية

الحدّانية المربّعة $(x + h)^2$ تُفكّ إلى $x^2 + 2hx + h^2$. لتحويل أي تعبير $x^2 + bx$ إلى مربع كامل، عليك إضافة $\left(\frac{b}{2}\right)^2$. تلك هي الحيلة بأكملها.

مثال محلول: الحالة الأحادية

أكمِل المربع في $x^2 + 6x + 5$.

1. خذ نصف المعامل الخطي: $b/2 = 3$.
2. ربّعه: $9$.
3. أعد الكتابة: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$.

أضفنا 9 وطرحنا 9 — المحصلة صفر، لكن الحدود الثلاثة الأولى تشكّل الآن مربعًا كاملًا.

مثال محلول: الحالة غير الأحادية

أكمِل المربع في $2x^2 + 12x + 7$.

1. أخرِج العامل 2 من الحدّين الأولين: $2(x^2 + 6x) + 7$.
2. داخل القوس، أكمِل المربع: $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$.
3. عوّض رجوعًا: $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$.

التطبيق 1: حل المعادلات التربيعية

لحل $x^2 + 6x + 5 = 0$:
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$.

نفس الجواب الذي تعطيه الصيغة التربيعية، مشتقًّا من الصفر.

التطبيق 2: رأس القطع المكافئ

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ بصيغة صيغة الرأس $y = a(x - h)^2 + k$. الرأس عند $(h, k) = (-3, -11)$، ويفتح نحو الأعلى (لأن $a > 0$). يمكنك قراءة هذا دون حساب تفاضل وتكامل.

التطبيق 3: التكامل

تكاملات مثل $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ تقاوم الهجوم المباشر لكنها تستسلم لإكمال المربع: $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$، ثم عوّض $u = x + 2$ للتعرّف على ظل الزاوية العكسي.

أخطاء شائعة

• نسيان طرح ما أضفته — يجب أن يبقى التعبير مساويًا لنفسه.
• عدم إخراج المعامل القائد كعامل أولًا في الحالات غير الأحادية.
• تنصيف المعامل الخطأ — إنه المعامل الخطي $b$، وليس القائد $a$.

جرّب باستخدام حلّال المعادلات التربيعية بالذكاء الاصطناعي

يعرض حلّال المعادلات التربيعية أسلوب إكمال المربع جنبًا إلى جنب مع الصيغة التربيعية.

مراجع ذات صلة:

• حاسبة التحليل إلى عوامل — المسار البديل إلى الجذور
• حلّال المعادلات — مجموعة أدوات أوسع لحل المعادلات
• حاسبة التكامل — للتطبيق في حساب التفاضل والتكامل أعلاه