有理數 vs 無理數

有理數 與 無理數 是實數的兩半——每個實數恰好是其中之一。

有理數

如果一個實數可以表示為 $\frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 為整數且 $q \neq 0$，則它是 有理數。

小數特徵：有理數的小數要麼 有限（$0.25 = \frac{1}{4}$），要麼最終 循環（$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$，$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$）。

有理數集記作 $\mathbb{Q}$。儘管它是稠密的（任意兩個有理數之間還有另一個有理數），有理數卻是 可數的——與 $\mathbb{N}$ 的基數相同。

無理數

不能表示為整數之比。小數是 無限不循環 的。

著名的無理數：

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$（黃金比）$= (1 + \sqrt{5})/2$。

無理數集是 不可數的——嚴格大於有理數集，儘管有理數是稠密的。

為何重要

• $\sqrt{2}$ 是無理數曾是畢達哥拉斯學派著名的發現（傳說：希帕索斯因洩露此事而被淹死）。
• $\pi$ 是無理數意味著你永遠無法把它寫成分數。
• $1/7 = 0.\overline{142857}$ 的小數——循環節長度至多為 $q - 1$。

如何判斷

如果你拿到一個數，問自己：

• 小數有限 → 有理數。
• 小數以明確的循環節循環 → 有理數。
• 小數無限延續且不循環（例如 $\pi$、$e$、$\sqrt{2}$）→ 無理數。

代數判別法利用封閉性：有理數在 $+, -, \times, /$（除以 0 除外）下封閉。兩個無理數之和 可以是有理數（例如 $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$）。