正比 vs 反比關係

正比關係 與 反比關係 是變數之間最簡單的兩種非平凡關係——也是理解更複雜模型的基礎。

正比關係：y = kx

如果對某個非零常數 $k$（變化常數 或 比例常數）有 $y = k x$，則兩個量 成正比關係。

• 當 $x$ 加倍時，$y$ 加倍。
• 當 $x$ 減半時，$y$ 減半。
• 圖形經過原點，斜率為 $k$。

例子：等速時的路程與時間（$d = v t$）、虎克定律（$F = k x$）、簡單計酬（$\text{薪酬} = \text{費率} \cdot \text{工時}$）。

反比關係：y = k/x

如果 $y = k/x$，則兩個量 成反比關係。

• 當 $x$ 加倍時，$y$ 減半。
• 當 $x \to \infty$ 時，$y \to 0$。
• 圖形是一條雙曲線，永不與座標軸相交。

例子：波以耳定律（恆溫下壓力 × 體積 = 常數）、定功下的時間（$t = \text{路程} / v$）、歐姆定律的各種變形。

如何從資料判斷是哪一種

畫 $y$ 對 $x$ 的圖。若各點落在過原點的一條直線上，則為正比關係。若它們落在衰減到零的雙曲線上，則為反比關係。或者檢查 $\frac{y}{x}$ 是否為常數（正比）與 $xy$ 是否為常數（反比）。

聯合變化與組合變化

• 聯合變化：$y = kxz$（兩個正比變數）。
• 組合變化：$y = kx/z$（一個正比，一個反比）。例子：萬有引力 $F = G m_1 m_2 / r^2$——對質量成正比，對距離成平方反比。

結論

用這個問題來判斷：「當一個量增大時，另一個量是增大還是減小，並以什麼比例變化？」正比 → 兩者一起變動；反比 → 方向相反且成倒數比例。