矩陣乘法：附解題範例的逐步指南

矩陣乘法是驅動線性代數、電腦圖學、機器學習和物理模擬的運算。然而大多數學生只是把它當作一套機械的演算法來學，從未看到它為什麼要這樣定義。本指南同時給你演算法和直覺。

先看維度規則

在計算任何東西之前，先檢查維度。要做 $A \cdot B$：

• $A$ 的形狀必須是 $m \times n$
• $B$ 的形狀必須是 $n \times p$
• 結果 $AB$ 的形狀為 $m \times p$

內側維度必須相符（$n = n$）；外側維度成為結果的形狀。

如果你試圖用一個 $3 \times 4$ 乘以一個 $5 \times 2$，這個運算就是未定義的——再多的算術也救不了你。

列乘行的演算法

$AB$ 的 $(i, j)$ 元素是 $A$ 的第 $i$ 列與 $B$ 的第 $j$ 行的點積：

$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

解題範例

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

計算 $AB$：

• $(AB)_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$
• $(AB)_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$
• $(AB)_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$
• $(AB)_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$

所以 $AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$。

為什麼乘法這樣定義？

矩陣表示向量空間之間的線性映射。如果 $A$ 把 $\mathbb{R}^n$ 映到 $\mathbb{R}^m$，$B$ 把 $\mathbb{R}^p$ 映到 $\mathbb{R}^n$，那麼 $AB$ 應當是這些映射的合成。列乘行規則恰恰就是產生合成的方式。這個演算法並非任意——它是由「先施加 $B$，再施加 $A$」必須被 $AB$ 編碼這一要求推導出來的。

性質（以及非性質！）

性質	是否成立？
$A(BC) = (AB)C$ 結合律	是
$A(B + C) = AB + AC$ 分配律	是
$AB = BA$ 交換律	一般不成立
$AB = 0 \Rightarrow A = 0$ 或 $B = 0$	否

不可交換性是相對於純量算術需要做的最大思維調整。

常見錯誤

• 把列、行乘積相加而不是相乘（你兩者都要做——先逐對相乘再求和）。
• 顛倒維度檢查的順序——必須是 $(m \times n)(n \times p)$，而不是 $(n \times m)(n \times p)$。
• 假定可交換性——即使 $BA$ 有定義，$AB$ 也可能根本沒有定義。

用 AI 矩陣求解器試一試

把任意一對矩陣輸入矩陣計算器，即可看到完整的逐列演算過程。

相關參考：

• 行列式計算器 —— 與 $2\times 2$ 乘積天然搭配
• 反矩陣計算器 —— 以 $AB = I$ 作為定義關係
• 向量計算器 —— 點積是每個元素的基礎