在 [0, 2π) 上解 cos(2x − π/3) + cos x = 0.5。

Step-by-step solution

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   用和差化积公式把两个余弦合起来。 取 $\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$，其中 $A=2x-\frac{\pi}{3}$、$B=x$： $\frac{A+B}{2}=\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6},\qquad \frac{A-B}{2}=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6},$ 于是方程变成 $2\cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12,\quad\text{即}\quad \cos\!\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac14.$

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   认清它没有封闭解。 两个余弦的角频率之比是 $3:1$，所以这个乘积无法归结为单一角度的一个三角函数。作代换 $t=\tan\frac{x}{2}$ 会得到关于 $t$ 的四次方程，其根是无理数，所以这里老实用数值解才是正路。

3. 3

   先框定解的个数。 用二倍角公式展开，$\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})=\tfrac12\cos 2x+\tfrac{\sqrt3}{2}\sin 2x$，可见左边是前两个谐波的光滑组合，周期为 $2\pi$。在 $[0,2\pi)$ 上取样可以看到它在 $-1.583246$ 与 $1.891702$ 之间变化，并且恰好两次穿过 $0.5$ 这条水平线，所以预计有两个解。

4. 4

   把两个交点各自框住再二分。 令 $f(x)=\cos(2x-\tfrac{\pi}{3})+\cos x-0.5$。那么 $f(1.2)=+0.078629$ 与 $f(1.3)=-0.214508$ 框住了第一个交点，而 $f(5.8)=-0.042926$ 与 $f(5.9)=+0.187084$ 框住了第二个。对每个区间二分到双精度极限，得 $x_{1}=1.227110981,\qquad x_{2}=5.818834845.$

5. 5

   把两个解都代回去。 在 $x_{1}=1.227110981$ 处：$\cos(2x_{1}-\tfrac{\pi}{3})=0.163041$、$\cos x_{1}=0.336959$，而 $0.163041+0.336959=0.500000$。在 $x_{2}=5.818834845$ 处：$\cos(2x_{2}-\tfrac{\pi}{3})=-0.394113$、$\cos x_{2}=0.894113$，而 $-0.394113+0.894113=0.500000$。两个解都检验到六位小数吻合。

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   换算成度数，并写出通解。 $x_{1}\approx 70.3083^\circ$，$x_{2}\approx 333.3947^\circ$。由于整个方程以 $2\pi$ 为周期，所有解就是 $x\approx 1.227111+2k\pi\quad\text{或}\quad x\approx 5.818835+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.$