求抛物线 y² + 6y + 9 = 12 − 12x 的顶点、焦点、对称轴和准线。

Step-by-step solution

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   认出完全平方三项式，就不必再配方了。 左边 $y^2 + 6y + 9$ 本身就是 $(y+3)^2$，因为 $9 = (6/2)^2$。看出这一点，配方那一步可以整个跳过：

   $(y+3)^2 = 12 - 12x$

2. 2

   把右边整理成 $4p(x-h)$ 的样子。 提出 $-12$：

   $(y+3)^2 = -12(x-1)$

   这里的符号很要紧——若写成 $12(1-x)$，$h$ 的值就被藏起来了。

3. 3

   对照横向抛物线的标准形式。 这里被平方的是 $y$，所以抛物线是横向开口的，标准形式为 $(y-k)^2 = 4p(x-h)$。写成 $(y-(-3))^2 = -12(x-1)$，即得 $h = 1$、$k = -3$、$4p = -12$，于是

   $p = -3$

   因为 $p < 0$，抛物线开口向左。

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   定出顶点和焦点。 顶点是 $(h,k) = (1,-3)$。对横向抛物线，焦点是 $(h+p,\; k)$：

   $(1 + (-3),\, -3) = (-2, -3)$

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   写出对称轴和准线。 对称轴是过顶点的那条水平直线 $y = k = -3$。准线是竖直直线 $x = h - p = 1 - (-3) = 4$，位于顶点右侧三个单位处——与焦点分居顶点两侧，本该如此。

6. 6

   用定义验一个点。 当 $y = 3$ 时方程给出 $(3+3)^2 = 36 = -12(x-1)$，所以 $x = -2$，即 $(-2, 3)$ 在曲线上。它到焦点 $(-2,-3)$ 的距离是 $6$，到准线 $x = 4$ 的距离是 $|-2 - 4| = 6$。两个距离相等。