圆内接四边形 ABCD 的外接圆在点 A 处的切线为 l。直线 l 与直线 CD 交于点 P，已知 AD = 3，DP = 8，PA = 10。求 CD 的长。

Step-by-step solution

1. 1

   先认清点 P 处的图形结构。 从圆外一点 $P$ 出发有两条线连向这个圆：一条是在 $A$ 处相切的切线 $PA$，另一条是穿过 $D$ 和 $C$ 的割线。这正是切割线定理（圆幂定理）适用的场景。

2. 2

   把定理写出来。 点 $P$ 关于该圆的幂可以用两种方式算出来，于是

   $PA^{2}=PD\cdot PC$

   其中 $PD$、$PC$ 分别是 $P$ 到割线近交点和远交点的距离。注意切线长是要平方的，而割线贡献的是这两段的整个乘积——不是 $PD\cdot DC$。

3. 3

   把已知长度代进去。

   $10^{2}=8\cdot PC\quad\Longrightarrow\quad 100=8\,PC\quad\Longrightarrow\quad PC=\frac{100}{8}=\frac{25}{2}=12.5$

4. 4

   相减得到弦长。 因为在割线上 $D$ 位于 $P$ 与 $C$ 之间，

   $CD=PC-PD=\frac{25}{2}-8=\frac{25}{2}-\frac{16}{2}=\frac92=4.5$

   $\boxed{CD=\dfrac92}$

5. 5

   检查前后是否自洽。 由 $PD=8<PC=12.5$ 可知 $D$ 确实是较近的那个交点，与前面的假设相符。另外 $PA=10$ 严格夹在 $PD=8$ 与 $PC=12.5$ 之间，这也是定理逼出来的：$PA=\sqrt{PD\cdot PC}$ 是两者的几何平均，而几何平均永远落在两个数之间。至于 $AD=3$ 这个条件，本小问用不上——它是留给后面几问的。

6. 6

   再用三角形不等式作一次常识核验。 在三角形 $APD$ 中三边为 $PA=10$、$PD=8$、$AD=3$：$8+3=11>10$ ✓，所以这样的三角形确实存在，整个图形是自洽的。