矩形 ABCD 中，三角形 BCD 的面积是 8，边 BC = 4√2。求这个矩形的周长。

Step-by-step solution

1. 1

   先把三角形和矩形联系起来。 $BD$ 是矩形的一条对角线，而对角线把矩形分成两个全等的直角三角形。所以 $\triangle BCD$ 恰好是矩形的一半：

   $[ABCD]=2\times 8=16$

2. 2

   求出未知的那条边。 已知一边 $BC=4\sqrt2$，于是

   $CD=\frac{16}{4\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}$

3. 3

   分母有理化。 分子分母同乘 $\sqrt2$：

   $CD=\frac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$

4. 4

   把周长加起来。

   $P=2\left(4\sqrt2+2\sqrt2\right)=2\left(6\sqrt2\right)=12\sqrt2$

   $\boxed{12\sqrt2\approx 16.97}$

5. 5

   用两条边反算面积来验证。 $4\sqrt2\times 2\sqrt2=8\cdot 2=16$ ✓，所以三角形面积是 $8$ ✓。也可以直接算三角形：$\tfrac12(4\sqrt2)(2\sqrt2)=\tfrac12(16)=8$ ✓——这同时验证了“取一半”和“分母有理化”两步。