在三角形 ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，M 是 AD 的中点。若向量 BM = λ·向量 BA + μ·向量 BC，求有序数对 (λ, μ)。

Step-by-step solution

1. 1

   改用位置向量，中点就变成了平均值。 用 $\vec A,\vec B,\vec C,\vec D,\vec M$ 表示各点的位置向量。这样做的好处是：中点无非就是两端点的平均，于是几何问题变成了对系数做算术。

2. 2

   先定出 D，再定出 M。 $AD$ 是边 $BC$ 上的中线，所以 $D$ 是 $BC$ 的中点：

   $\vec D=\frac{\vec B+\vec C}{2}$

   而 $M$ 是 $AD$ 的中点：

   $\vec M=\frac{\vec A+\vec D}{2}=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

3. 3

   写出向量 BM。 减去 $B$ 的位置向量：

   $\overrightarrow{BM}=\vec M-\vec B=\frac{1}{2}\vec A+\frac{1}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C-\vec B=\frac{1}{2}\vec A-\frac{3}{4}\vec B+\frac{1}{4}\vec C$

4. 4

   把目标组合也写成同一套坐标。 由于 $\overrightarrow{BA}=\vec A-\vec B$，$\overrightarrow{BC}=\vec C-\vec B$，

   $\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}=\lambda\vec A+\mu\vec C-(\lambda+\mu)\vec B$

5. 5

   比较系数。 比较 $\vec A$ 的系数得 $\lambda=\tfrac12$；比较 $\vec C$ 的系数得 $\mu=\tfrac14$。

   $\boxed{(\lambda,\mu)=\left(\tfrac12,\ \tfrac14\right)}$

6. 6

   用第三个系数验算。 $\vec B$ 一项要求 $-(\lambda+\mu)=-\tfrac34$，而确实有 $\tfrac12+\tfrac14=\tfrac34$。这个一致性检验很有意义：这类表达式中 $\vec A,\vec B,\vec C$ 的三个系数之和必须为 $0$，因为 $\overrightarrow{BM}$ 是两点之差，与原点选在哪里无关。