设 ∠xAy 是锐角，B 是射线 Ax 上一点，Bm 是 ∠xAy 内部一条与 Ay 平行的射线。Au 与 Bv 分别平分 ∠xAy 和 ∠xBm。(a) 求证 Au 平行于 Bv。(b) 若 Bz 平分 ∠ABm，求证 ∠vBz = 90 度。(c) 由此推出 Bz 垂直于 Au。

Step-by-step solution

1. 1

   (a) 借助平行射线把角搬过去。 因为 $Bm\parallel Ay$，而 $Ax$ 是同时截它们于 $A$、$B$ 的截线，所以 $\angle xBm$ 与 $\angle xAy$ 是同位角，因而相等：

   $\angle xBm=\angle xAy$

2. 2

   把这两个相等的角各取一半。 角平分线把相等的角分成相等的一半，于是

   $\angle xBv=\tfrac12\angle xBm=\tfrac12\angle xAy=\angle xAu$

   这两个角又正是截线 $Ax$ 截 $Au$ 与 $Bv$ 所成的同位角。同位角相等，两条直线就必然平行：

   $Au\parallel Bv$

3. 3

   (b) 找出 B 处的那对互补角。 $A$、$B$ 与方向 $x$ 在同一条直线上，且 $B$ 在 $A$ 与 $x$ 方向之间，所以射线 $BA$ 与 $Bx$ 方向相反。于是 $\angle ABm$ 与 $\angle xBm$ 构成一对邻补角：

   $\angle ABm+\angle xBm=180^{\circ}$

4. 4

   把这对邻补角也各取一半。 $Bz$ 平分 $\angle ABm$，$Bv$ 平分 $\angle xBm$，而这两个被平分的角沿着直线相邻，所以

   $\angle vBz=\tfrac12\angle xBm+\tfrac12\angle ABm=\tfrac12\left(\angle xBm+\angle ABm\right)=\tfrac12(180^{\circ})=90^{\circ}$

   $\boxed{\angle vBz=90^{\circ}}$

   这正体现了一条一般结论：一对邻补角的平分线永远互相垂直。

5. 5

   (c) 把两个结论拼起来。 由 (b) 得 $Bz\perp Bv$；由 (a) 得 $Bv\parallel Au$。一条直线垂直于两条平行线中的一条，就必定垂直于另一条，所以

   $Bz\perp Au$

   $\boxed{Au\parallel Bv,\quad \angle vBz=90^{\circ},\quad Bz\perp Au}$

6. 6

   取一个具体角度检验。 令 $\angle xAy=60^{\circ}$。则 $\angle xBm=60^{\circ}$，于是 $\angle xBv=30^{\circ}=\angle xAu$ ✓（同位角相等）。又 $\angle ABm=120^{\circ}$，故 $\angle ABz=60^{\circ}$，$\angle vBz=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$ ✓。注意 (c) 的结论是 $Bz\perp Au$，而不是 $Bz\perp Ay$——除非 $Au$ 恰好与 $Ay$ 重合，否则这是两条不同的直线。