射线 Mx 与 Ny 平行，点 P 位于两条直线之间，且 ∠xMP = 110 度，∠yNP = 140 度。求 ∠MPN。

Step-by-step solution

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   过 P 作一条与两者都平行的辅助线。 两个已知角位于不同的顶点，此刻还没有任何联系。过 $P$ 作射线 $Pz$ 平行于 $Mx$（从而也平行于 $Ny$），就把 $\angle MPN$ 分成两块，每一块都能与一个已知角挂上钩。

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   在 M 处用同旁内角。 $Mx\parallel Pz$，$MP$ 是截线，所以 $\angle xMP$ 与 $\angle MPz$ 是同旁内角，两者之和为 $180^{\circ}$：

   $\angle MPz=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$

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   在 N 处同样用同旁内角。 同理 $Ny\parallel Pz$，$NP$ 是截线：

   $\angle NPz=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}$

4. 4

   把两块相加。 因为 $Pz$ 落在 $\angle MPN$ 内部（"$P$ 位于两条直线之间"保证了这一点），

   $\angle MPN=\angle MPz+\angle NPz=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$

   $\boxed{110^{\circ}}$

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   记住速算法，也要知道它何时成立。 同样的计算可以一步写成

   $\angle MPN=360^{\circ}-110^{\circ}-140^{\circ}=110^{\circ}$

   因为 $\angle xMP$、$\angle MPN$、$\angle yNP$ 这三个角绕着辅助线正好凑满一周。这个速算法只在折点确实位于两条平行线之间时才适用；若它落在带状区域之外，那两块就该相减而不是相加。

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   从大小上做常识检验。 两个已知角都是钝角，所以各自在 $P$ 处只贡献一个不大的锐角（$70^{\circ}$ 和 $40^{\circ}$），它们的和 $110^{\circ}$ 是钝角但小于 $180^{\circ}$——这与 $P$ 严格位于两线之间是一致的。