等腰直角三角形的顶点是 (0,0)、(4,0) 和 (0,4)，另有一个以 (2,2) 为圆心、半径为 2 的圆。求两者公共部分的面积。

Step-by-step solution

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   先把两个区域都写成不等式。 三角形是 $x\ge0$，$y\ge0$，$x+y\le4$；圆盘是

   $(x-2)^2+(y-2)^2\le 4$

   公共部分就是同时满足这四个条件的点集，所以三角形的三个约束要分别拿来和圆盘比对。

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   先看斜边这个约束。 圆心 $(2,2)$ 满足 $2+2=4$，也就是说圆心恰好落在直线 $x+y=4$ 上。而过圆心的直线正是一条直径所在的直线，会把圆盘切成全等的两半。

   $x+y\le4 \text{ 一侧的圆盘面积}=\tfrac12\pi(2)^2=2\pi$

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   再看两条直角边的约束。 从 $(2,2)$ 到 $x$ 轴的距离是 $2$，到 $y$ 轴的距离也是 $2$——都恰好等于半径。所以圆与两条坐标轴都是相切的（切点分别是 $(2,0)$ 和 $(0,2)$），一次也没有穿过它们。

   因此整个圆盘都落在 $x\ge0,\ y\ge0$ 之内，两条直角边一点面积也没有切掉。

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   把三个判断合起来。 只有斜边真正切到了圆盘，而且是对半切开。于是公共部分恰好就是位于 $x+y\le4$ 一侧的那半个圆盘：

   $\text{面积}=\tfrac12\cdot\pi r^2=\tfrac12\cdot 4\pi=2\pi$

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   最后估一下量级是否合理。 三角形面积是 $\tfrac12(4)(4)=8$，整个圆盘面积是 $4\pi\approx12.57$。重叠部分 $2\pi\approx6.283$ 比两者都小，也不到三角形面积的一半——这与「半个圆盘贴着斜边」的图景完全吻合 ✓。