两个同心圆共用一个圆心，外圆周长为 132 英寸，内圆半径为 17.5 英寸。取 π 为 22/7，求它们之间圆环的面积。

Step-by-step solution

1. 1

   先由周长求出外圆半径。

   $R=\frac{132}{2\pi}=\frac{132}{\frac{44}{7}}=132\cdot\frac{7}{44}=3\cdot 7=21\ \text{in}.$

   取 $\pi=\tfrac{22}{7}$ 时 $44$ 恰好整除 $132$ 三次，所以全程都不会出现小数。

2. 2

   把圆环面积写成两个圆面积之差。 圆环就是大圆盘挖掉小圆盘剩下的部分：

   $A_{\text{环}}=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right).$

3. 3

   用平方差公式，而不是把两个半径分别平方。

   $R^{2}-r^{2}=(R-r)(R+r)=(21-17.5)(21+17.5)=3.5\times 38.5.$

   这样就免去了算 $441-306.25$，数字始终保持很小——这正是做因式分解的用意。

4. 4

   把乘积算出来。

   $3.5\times 38.5=134.75,$

   于是

   $A_{\text{环}}=\frac{22}{7}\times 134.75.$

5. 5

   用分数收尾。 把 $3.5$ 写成 $\tfrac72$，$7$ 就被约掉了：

   $A_{\text{环}}=\frac{22}{7}\cdot\frac{7}{2}\cdot 38.5=11\times 38.5=423.5\ \text{in}^2.$

6. 6

   再用直接算法交叉验证。 $\pi R^2=\tfrac{22}{7}(441)=1386$，$\pi r^2=\tfrac{22}{7}(306.25)=962.5$；两者之差为 $1386-962.5=423.5\ \text{in}^2$ ✓。