在三角形 ABC 中，AF 是 BC 边上的高，AD 是 ∠BAC 的平分线。已知 ∠B = 36 度，∠C = 76 度，求三角形 ADF 的三个角。

Step-by-step solution

1. 1

   先求顶角。 $\triangle ABC$ 的三个内角和为 $180^{\circ}$：

   $\angle A=180^{\circ}-36^{\circ}-76^{\circ}=68^{\circ}$

2. 2

   用高求出 ∠BAF。 在直角三角形 $ABF$ 中，$F$ 处的角是 $90^{\circ}$，所以

   $\angle BAF=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$

3. 3

   用角平分线求出 ∠BAD。

   $\angle BAD=\frac{\angle A}{2}=\frac{68^{\circ}}{2}=34^{\circ}$

   因为 $34^{\circ}<54^{\circ}$，射线 $AD$ 落在 $AB$ 与 $AF$ 之间，所以底边上 $D$ 位于 $B$ 与 $F$ 之间。

4. 4

   相减得到三角形 ADF 在 A 处的角。

   $\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD=54^{\circ}-34^{\circ}=20^{\circ}$

5. 5

   另外两个角可以直接读出。 因为 $AF\perp BC$ 且 $D$ 在 $BC$ 上，所以

   $\angle AFD=90^{\circ}$

   又 $\triangle ADF$ 的内角和为 $180^{\circ}$：

   $\angle ADF=180^{\circ}-20^{\circ}-90^{\circ}=70^{\circ}$

   $\boxed{\angle DAF=20^{\circ},\ \angle AFD=90^{\circ},\ \angle ADF=70^{\circ}}$

6. 6

   换一条路，用三角形 ABD 再验一次 ∠ADF。 在 $\triangle ABD$ 中：$\angle ABD=36^{\circ}$，$\angle BAD=34^{\circ}$，所以 $\angle ADB=110^{\circ}$。由于 $B$、$D$、$F$ 三点共线，$\angle ADF=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$ ✓ —— 与第一种算法一致。

7. 7

   记住这道题体现的一般结论。 从同一顶点出发的高与角平分线之间的夹角，永远等于另外两个角之差的一半：$\tfrac12\left(\angle C-\angle B\right)=\tfrac12(76^{\circ}-36^{\circ})=20^{\circ}$，正是 $\angle DAF$。要当心那些把 $\angle AFD$ 写成 $90^{\circ}$ 以外数值的解答——垂足处必然是直角。