在四边形 MNPQ 中，∠N = ∠M + 10°，∠P = ∠N + 10°，∠Q = ∠P + 10°。求这四个内角。

Step-by-step solution

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   把每个角都用同一个未知数表示。 设 $\widehat{M}=x$。把三个条件依次串起来，

   $\widehat{N}=x+10^{\circ},\qquad \widehat{P}=(x+10^{\circ})+10^{\circ}=x+20^{\circ},\qquad \widehat{Q}=x+30^{\circ}$

   注意每个条件都是相对前一个角说的，所以增量会不断累加，而不是一直停在 $10^{\circ}$。

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   用四边形的内角和。 任何四边形的内角和都是 $360^{\circ}$（把它分成两个三角形就看出来了）：

   $x+(x+10^{\circ})+(x+20^{\circ})+(x+30^{\circ})=360^{\circ}$

3. 3

   解这个一次方程。

   $4x+60^{\circ}=360^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad 4x=300^{\circ}\quad\Longrightarrow\quad x=75^{\circ}$

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   写出四个角。

   $\widehat{M}=75^{\circ},\quad \widehat{N}=85^{\circ},\quad \widehat{P}=95^{\circ},\quad \widehat{Q}=105^{\circ}$

   $\boxed{75^{\circ},\ 85^{\circ},\ 95^{\circ},\ 105^{\circ}}$

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   验算总和，顺便记一个捷径。 $75+85+95+105=360$ ✓。因为这四个角成等差数列，它们的平均值是 $360\div 4=90^{\circ}$，而这个平均值必然落在中间两个角的正中间——确实 $\tfrac{85+95}{2}=90^{\circ}$。于是有一条一行搞定的思路：中间两个角是 $90\mp 5$，外侧两个角是 $90\mp 15$。

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   确认这个图形画得出来。 四个角都严格介于 $0^{\circ}$ 与 $180^{\circ}$ 之间，所以它是凸四边形，画出来不会出现凹进去的角。