AI Math
Mở ứng dụng

Máy Tính Tích Phân Bội Ba

Tính tích phân bội ba trong tọa độ chữ nhật, trụ hoặc cầu với lời giải từng bước hỗ trợ bởi AI
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

Tích Phân Bội Ba Là Gì?

Một tích phân bội ba mở rộng khái niệm tích phân đơn và tích phân kép sang ba chiều. Với một hàm số f(x,y,z)f(x, y, z) xác định trên một miền khối E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

cho sự tích lũy tổng của ff trên EE. Phần tử thể tích vô cùng bé dVdV trở thành dx dy dzdx\,dy\,dz trong tọa độ Descartes, nhưng có thể viết lại tùy theo hình học của EE.

Các ý nghĩa vật lý thông dụng:

  • Nếu f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, tích phân cho thể tích của EE.
  • Nếu f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) là mật độ, nó cho khối lượng tổng.
  • Mômen, khối tâm và mômen quán tính đều là tích phân bội ba của các hàm mật độ có trọng số.

Chìa khóa để tính một tích phân bội ba là chọn đúng hệ tọa độ và thiết lập các cận chính xác.

Cách Thiết Lập và Tính Tích Phân Bội Ba

Bước 1: Chọn Tọa Độ

Hình học miềnTọa độ tốt nhấtPhần tử thể tích
Hộp / tổng quátChữ nhật (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
Đối xứng trụTrụ (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
Đối xứng cầuCầu (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Bước 2: Thiết Lập Các Cận

Chiếu miền lên một mặt phẳng tọa độ để xác định thứ tự tích phân. Với khối loại I bị chặn trên bởi z=g2(x,y)z = g_2(x,y) và dưới bởi z=g1(x,y)z = g_1(x,y):

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

Bước 3: Tính Lặp

Tích phân trong cùng trước, xem các biến ngoài là hằng số. Rồi đi ra ngoài.

Tọa Độ Trụ

Dùng các phép thế x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

Thừa số rr thêm vào đến từ định thức Jacobi.

Tọa Độ Cầu

Dùng x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Jacobi ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi là cực kỳ quan trọng — quên nó là lỗi phổ biến nhất.

Những Lỗi Thường Gặp Cần Tránh

  • Quên Jacobi: Tọa độ trụ có thừa số rr, tọa độ cầu có ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. Bỏ qua điều này luôn cho đáp án sai.
  • Sai thứ tự cận: Các cận trong cùng có thể phụ thuộc các biến ngoài, nhưng các cận ngoài cùng phải là hằng số. Đảo ngược điều này tạo ra vô nghĩa.
  • Sai dấu với sin⁡φ\sin\varphi: Trong tọa độ cầu, φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (nên sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). Dùng φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] là sai.
  • Lẫn lộn quy ước: Một số sách dùng φ\varphi cho góc cực (từ trục z), số khác cho góc phương vị. Hãy nhất quán với một quy ước.
  • Không phác họa miền: Với các khối không tầm thường, một bản phác họa nhanh giúp bạn tránh các cận không thể.

Examples

Step 1: Thiết lập tích phân lặp: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: Tích phân theo zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: Tích phân theo yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: Tích phân theo xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: Trong tọa độ cầu: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: Thể tích = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: Trong: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: Giữa: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: Ngoài: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: Tích: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: Chuyển sang tọa độ trụ: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: Tích phân = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: Trong: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: Giữa: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: Ngoài: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

Dùng tọa độ trụ khi miền có đối xứng quay quanh trục z nhưng không có cấu trúc bán kính đặc biệt (hình trụ, paraboloid, hình nón trên/dưới một hình tròn). Dùng tọa độ cầu khi miền bị chặn bởi các mặt cầu, hình nón từ gốc, hoặc có đối xứng bán kính 3D đầy đủ (hình cầu, vỏ cầu).

Jacobi là định thức điều chỉnh phần tử thể tích khi đổi tọa độ. Trong tọa độ trụ nó bằng r, trong tọa độ cầu nó bằng ρ² sin φ. Không có nó, tích phân đo sai thể tích.

Nhìn vào miền: tích phân biến có cận phụ thuộc các biến khác (trong cùng) trước, rồi đi ra ngoài. Biến ngoài cùng phải có cận hằng số. Nếu một thứ tự dẫn đến các cận xấu, đổi thứ tự dùng một bản phác họa của miền.

Có, nếu hàm dưới dấu tích phân có thể âm. Với các phép tính thể tích, hàm dưới dấu tích phân là 1 và đáp án luôn dương. Với các đại lượng vật lý như thông lượng có dấu hoặc lực thuần, các giá trị âm có thể có và có ý nghĩa.

Related Solvers

Máy tính tích phânMáy tính đạo hàmMáy tính chuỗi

Related Guides

Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving