Máy Tính Chuỗi Taylor

Một chuỗi Taylor biểu diễn một hàm số dưới dạng một đa thức vô hạn được xây dựng từ các đạo hàm của hàm số tại một điểm duy nhất $a$:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Khi $a = 0$, chuỗi được gọi là chuỗi Maclaurin:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

Vì sao điều này quan trọng: Chuỗi Taylor chuyển các phép tính trên những hàm số có thể khó ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) thành các phép tính trên đa thức, mà máy tính và con người đều xử lý được. Chúng là nền tảng của các phương pháp số, khai triển tiệm cận và lý thuyết xấp xỉ.

Đa thức Taylor bậc $n$ là tổng riêng giữ các số hạng đến $(x-a)^n$. Đó là đa thức xấp xỉ tốt nhất của $f$ gần $a$ theo một nghĩa chính xác (khớp giá trị và $n$ đạo hàm đầu tiên).

Bước 1: Tính Các Đạo Hàm Tại Điểm Khai Triển

Với $f(x)$ và điểm khai triển $a$, tính $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

Bước 2: Thay Vào Công Thức

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Các Chuỗi Maclaurin Thông Dụng Cần Ghi Nhớ

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

Bán Kính Hội Tụ

Một chuỗi Taylor chỉ hội tụ trong một bán kính hội tụ $R$ quanh $a$. Tìm nó bằng tiêu chuẩn tỉ số:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

Ngoài bán kính này, chuỗi phân kỳ và không biểu diễn hàm số. Bên trong, sự hội tụ thường đều trên các tập con compact.

Biến Đổi Các Chuỗi Đã Biết

Để nhanh, hãy thế, đạo hàm hoặc tích phân các chuỗi đã biết thay vì tính các đạo hàm từ đầu:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (thế $-x^2$ vào $e^x$)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• Quên giai thừa: Số hạng thứ $n$ có $\frac{1}{n!}$, không chỉ là đạo hàm. Bỏ qua điều này cho đáp án sai hoàn toàn.
• Dùng chuỗi ngoài bán kính hội tụ: $\frac{1}{1-x}$ không bằng $\sum x^n$ khi $|x| > 1$ — chuỗi phân kỳ ở đó.
• Quên lấy tâm tại $a$: Một chuỗi Taylor quanh $a$ dùng các lũy thừa của $(x-a)$, không phải $x$.
• Nhầm bậc và số số hạng: Một đa thức Taylor bậc $n$ có $n+1$ số hạng (bậc từ $0$ đến $n$).
• Sai dấu khi thế: $\sin(-x) = -\sin(x)$, nên chuỗi của $\sin(-x)$ có các dấu đan đảo ngược so với $\sin(x)$.