AI Math
Mở ứng dụng

Máy Tính Đạo Hàm Riêng

Tính đạo hàm riêng, đạo hàm hỗn hợp và gradient với lời giải từng bước hỗ trợ bởi AI

Kéo & thả hoặc nhấp để thêm hình ảnh hoặc PDF

∑Math Input
partial of x^2*y + sin(y) w.r.t. x
second partial of e^(xy) w.r.t. x then y
gradient of f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2
partial of ln(x^2+y^2) with respect to x

Đạo Hàm Riêng Là Gì?

Một đạo hàm riêng đo cách một hàm số nhiều biến biến thiên theo một biến trong khi giữ các biến khác cố định. Với f(x,y)f(x, y):

∂f∂x=lim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}

Ký hiệu ∂\partial (chữ d cong) phân biệt đạo hàm riêng với đạo hàm thường ddx\frac{d}{dx}. Các ký hiệu tương đương gồm fxf_x, ∂xf\partial_x f, DxfD_x f.

Ý nghĩa hình học: ∂f∂x(a,b)\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) là hệ số góc của mặt z=f(x,y)z = f(x,y) tại (a,b)(a,b) theo hướng xx — tiếp tuyến nằm trong mặt phẳng y=by = b.

Vì sao điều này quan trọng: hạ gradient, tối ưu hóa, truyền sai số và phần lớn giải tích vec-tơ đều dựa trên đạo hàm riêng. Gradient ∇f=(fx,fy,fz)\nabla f = (f_x, f_y, f_z) chỉ về hướng tăng nhanh nhất.

Cách Tính Đạo Hàm Riêng

Quy Tắc 1: Xem Các Biến Khác Là Hằng Số

Để tìm ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}, xem y,z,…y, z, \ldots là hằng số và đạo hàm ff như một hàm một biến của xx.

Ví dụ: f(x,y)=x2y+3yf(x, y) = x^2 y + 3y

  • ∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy (số hạng 3y3y biến mất vì không có xx)
  • ∂f∂y=x2+3\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3 (x2x^2 đóng vai trò hệ số)

Quy Tắc 2: Quy Tắc Dây Chuyền và Quy Tắc Tích Vẫn Áp Dụng

Với f(x,y)=sin⁡(xy)f(x, y) = \sin(xy):

∂f∂x=cos⁡(xy)⋅y\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y

yy bên trong dấu ngoặc được xem là hệ số hằng khi đạo hàm xyxy theo xx.

Đạo Hàm Riêng Bậc Cao

fxx=∂2f∂x2,fxy=∂2f∂y∂xf_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}

Định lý Clairaut (đạo hàm hỗn hợp): nếu ff có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục thì fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}. Thứ tự lấy đạo hàm không quan trọng.

Gradient và Đạo Hàm Theo Hướng

Gradient là vec-tơ gồm tất cả các đạo hàm riêng bậc nhất:

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)

Đạo hàm theo hướng theo hướng u\mathbf{u} (vec-tơ đơn vị) là:

Duf=∇f⋅uD_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}

Được cực đại khi u\mathbf{u} chỉ dọc theo ∇f\nabla f — đây là hướng tăng nhanh nhất.

Quy Tắc Dây Chuyền (Nhiều Biến)

Nếu z=f(x,y)z = f(x, y) và x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t):

dzdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}

Những Lỗi Thường Gặp Cần Tránh

  • Đạo hàm sai biến: Luôn xác định biến nào đang 'sống' và biến nào giữ cố định. Gạch chân biến đang sống trong giấy nháp giúp ích.
  • Quên quy tắc dây chuyền: ∂∂xsin⁡(xy)=ycos⁡(xy)\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy), không chỉ cos⁡(xy)\cos(xy).
  • Nhầm ký hiệu: fxyf_{xy} nghĩa là đạo hàm trước theo xx, rồi yy (một số sách đảo ngược điều này — hãy kiểm tra quy ước).
  • Sai hướng gradient: ∇f\nabla f chỉ về hướng tăng nhanh nhất, không phải hướng chuyển động. Để cực tiểu hóa, di chuyển ngược với ∇f\nabla f.
  • Lẫn lộn đạo hàm riêng và đạo hàm toàn phần: Khi cả xx và yy phụ thuộc tt, dùng quy tắc dây chuyền — không phải ∂f/∂t\partial f/\partial t, bằng không nếu ff không có tt tường minh.

Examples

Step 1: Với ∂f/∂x\partial f/\partial x: xem yy là hằng số. ∂f/∂x=2xy+0=2xy\partial f/\partial x = 2xy + 0 = 2xy
Step 2: Với ∂f/∂y\partial f/\partial y: xem xx là hằng số. ∂f/∂y=x2+3y2\partial f/\partial y = x^2 + 3y^2
Answer: fx=2xyf_x = 2xy, fy=x2+3y2f_y = x^2 + 3y^2

Step 1: Đạo hàm riêng bậc nhất: fx=yexyf_x = y e^{xy}, fy=xexyf_y = x e^{xy}
Step 2: fxx=∂/∂x(yexy)=y⋅y⋅exy=y2exyf_{xx} = \partial/\partial x (y e^{xy}) = y \cdot y \cdot e^{xy} = y^2 e^{xy}
Step 3: fyy=∂/∂y(xexy)=x⋅x⋅exy=x2exyf_{yy} = \partial/\partial y (x e^{xy}) = x \cdot x \cdot e^{xy} = x^2 e^{xy}
Step 4: fxy=∂/∂y(yexy)=exy+y⋅x⋅exy=(1+xy)exyf_{xy} = \partial/\partial y (y e^{xy}) = e^{xy} + y \cdot x \cdot e^{xy} = (1 + xy)e^{xy}
Step 5: Kiểm chứng Clairaut: fyx=∂/∂x(xexy)=exy+x⋅y⋅exy=(1+xy)exyf_{yx} = \partial/\partial x (x e^{xy}) = e^{xy} + x \cdot y \cdot e^{xy} = (1 + xy)e^{xy} ✓
Answer: fxx=y2exyf_{xx} = y^2 e^{xy}, fyy=x2exyf_{yy} = x^2 e^{xy}, fxy=fyx=(1+xy)exyf_{xy} = f_{yx} = (1+xy)e^{xy}

Step 1: ∂f/∂x=2x\partial f/\partial x = 2x, ∂f/∂y=2y\partial f/\partial y = 2y, ∂f/∂z=2z\partial f/\partial z = 2z
Step 2: ∇f=(2x,2y,2z)\nabla f = (2x, 2y, 2z)
Step 3: Tính tại (1,2,2)(1, 2, 2): ∇f(1,2,2)=(2,4,4)\nabla f(1,2,2) = (2, 4, 4)
Answer: ∇f(1,2,2)=(2,4,4)\nabla f(1,2,2) = (2, 4, 4)

Frequently Asked Questions

Đạo hàm thường df/dx áp dụng cho các hàm một biến. Đạo hàm riêng ∂f/∂x áp dụng cho các hàm nhiều biến và đo tốc độ biến thiên theo một biến trong khi giữ các biến khác cố định.

Nếu một hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục thì các đạo hàm hỗn hợp bằng nhau: f_xy = f_yx. Thứ tự lấy đạo hàm không quan trọng trong trường hợp đó.

Gradient là một vec-tơ chỉ về hướng tăng nhanh nhất của f tại một điểm. Độ lớn của nó là tốc độ biến thiên cực đại tại điểm đó. Nó cũng vuông góc với các đường mức và mặt mức của f.

Hạ gradient dùng gradient (vec-tơ các đạo hàm riêng) của hàm mất mát theo các tham số mô hình. Thuật toán cập nhật các tham số theo hướng gradient âm để cực tiểu hóa mất mát.

Related Solvers

Máy tính đạo hàmMáy tính tích phânMáy tính giới hạn
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving