Máy Tính Biến Đổi Laplace

Biến đổi Laplace chuyển một hàm số theo thời gian $f(t)$ thành một hàm số theo tần số phức $F(s)$:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

Biến đổi được xác định với $s$ trong một nửa mặt phẳng bên phải nào đó $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ nơi tích phân hội tụ.

Vì sao điều này hữu ích: Laplace chuyển phép vi phân thành phép nhân với $s$, biến các ODE tuyến tính hệ số hằng thành các phương trình đại số theo $s$. Bạn giải phần đại số, rồi lấy biến đổi Laplace ngược để có đáp án trong miền thời gian.

Biến đổi Laplace cũng xử lý các đầu vào gián đoạn và xung (hàm bước, hàm delta Dirac) một cách thanh lịch, điều này khiến nó không thể thiếu trong lý thuyết điều khiển, xử lý tín hiệu và kỹ thuật điện.

Các Cặp Biến Đổi Cơ Bản

Ghi nhớ bảng cốt lõi:

Các Tính Chất Quan Trọng

Tính tuyến tính:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

Dịch chuyển thứ nhất (dịch s):

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

Đây là cách $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$.

Vi phân trong miền $t$:

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

Đây là điều chuyển ODE thành đại số: các đạo hàm trở thành các đa thức theo $s$ nhân với $F(s)$, với các điều kiện ban đầu được tích hợp sẵn.

Nhân với $t$:

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

Biến Đổi Laplace Ngược

Cho $F(s)$, tìm $f(t)$ sao cho $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$. Các kỹ thuật chuẩn:

1. Phân thức đơn giản: phân tích $F(s)$ thành các mảnh hữu tỉ đơn giản khớp với bảng.
2. Hoàn thành bình phương: với các dạng $\frac{1}{s^2 + bs + c}$, viết lại thành $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ để khớp với mục bảng sin đã dịch.
3. Tra cứu và kết hợp dùng tính tuyến tính.

Giải ODE Bằng Laplace

Với $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0) = 0, y'(0) = 1$:

1. Áp dụng Laplace: $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. Giải tìm $Y$: $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$, nên $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (sau khi rút gọn).
3. Lấy ngược: $y(t) = t e^{-t}$.

Gọn và máy móc — cùng bài toán đó với phương pháp biến thiên tham số mất gấp đôi công sức.

• Quên điều kiện ban đầu: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. Bỏ sót $f(0)$ là lỗi phổ biến nhất.
• Sai dấu trong dịch s: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$, không phải $F(s + a)$. Dấu có ý nghĩa.
• Xử lý sai sự gián đoạn: Với các đầu vào bước, dùng hàm bước đơn vị $u(t-a)$ và định lý dịch thời gian $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$.
• Biến đổi ngược mà không phân thức đơn giản: $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ không lấy ngược trực tiếp được — hãy phân tích trước.
• Nhầm $F(s)$ với $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$: $F(s)$ là biến đổi, $f(t)$ là hàm gốc. Luôn kết thúc bài toán ODE trở lại miền thời gian.