AI Math
Mở ứng dụng

Máy Tính Tích Phân Kép

Tính tích phân kép trên miền chữ nhật, tổng quát hoặc cực với lời giải từng bước hỗ trợ bởi AI

Kéo & thả hoặc nhấp để thêm hình ảnh hoặc PDF

∑Math Input
double integral of x*y over [0,1]x[0,2]
double integral of x^2+y^2 over unit disk in polar
double integral of e^(x+y) over [0,1]x[0,1]
double integral of y dA over triangle with vertices (0,0),(1,0),(0,1)

Tích Phân Kép Là Gì?

Một tích phân kép tính sự tích lũy của một hàm số f(x,y)f(x, y) trên một miền hai chiều DD:

∬Df(x,y) dA\iint_D f(x,y)\,dA

trong đó dAdA là phần tử diện tích vô cùng bé. Trong tọa độ Descartes dA=dx dydA = dx\,dy; trong tọa độ cực dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta.

Các ý nghĩa vật lý thông dụng:

  • f(x,y)=1f(x,y) = 1 cho diện tích của DD.
  • f(x,y)=h(x,y)f(x,y) = h(x,y) (hàm chiều cao) cho thể tích dưới mặt z=h(x,y)z = h(x,y) trên DD.
  • f=ρ(x,y)f = \rho(x,y) (mật độ mặt) cho khối lượng của một tấm mỏng.

Các kỹ năng then chốt là: chọn tọa độ, thiết lập các cận, và tính như tích phân đơn lặp dùng định lý Fubini.

Cách Tính Tích Phân Kép

Định Lý Fubini

Với ff liên tục trên một hình chữ nhật D=[a,b]×[c,d]D = [a, b] \times [c, d]:

∬Df dA=∫ab∫cdf(x,y) dy dx=∫cd∫abf(x,y) dx dy\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy

Thứ tự nào cũng được, nên chọn thứ tự dễ tích phân hơn.

Miền Loại I và Loại II

Loại I (yy bị chặn bởi các đường cong của xx):

D={(x,y):a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}

∬Df dA=∫ab∫g1(x)g2(x)f(x,y) dy dx\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx

Loại II (xx bị chặn bởi các đường cong của yy):

D={(x,y):c≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y)}D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}

∬Df dA=∫cd∫h1(y)h2(y)f(x,y) dx dy\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy

Tọa Độ Cực

Với các miền có đối xứng tròn, dùng x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta:

∬Df(x,y) dA=∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta

Thừa số rr từ định thức Jacobi là thiết yếu — quên nó là lỗi phổ biến nhất.

Khi Nào Đổi Thứ Tự Tích Phân

Nếu một tích phân trong trở nên không giải được (ví dụ ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx không có nguyên hàm sơ cấp), đổi thứ tự tích phân thường làm bài toán giải được. Hãy phác họa miền trước để tìm các cận tương đương theo thứ tự kia.

Những Lỗi Thường Gặp Cần Tránh

  • Sai thứ tự cận: Các cận trong có thể phụ thuộc các biến ngoài, nhưng các cận ngoài phải là hằng số. Đảo ngược = đáp án sai.
  • Quên Jacobi tọa độ cực: dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta, không phải dr dθdr\,d\theta.
  • Không phác họa miền: Với DD không phải hình chữ nhật, một bản phác họa làm rõ Loại I hay Loại II.
  • Cố tích phân các hàm trong không thể: Nếu gặp ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx hoặc hàm dưới dấu tích phân không sơ cấp tương tự, hãy đổi thứ tự trước khi bỏ cuộc.
  • Sai dấu với hàm dưới dấu tích phân âm: Nếu ff đổi dấu trên DD, tích phân kép có thể bằng không — điều này đúng, không phải lỗi cần 'sửa'.

Examples

Step 1: Thiết lập: ∫01∫01(x2+y2) dy dx\int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2)\, dy\, dx
Step 2: Tích phân theo yy: ∫01(x2+y2) dy=x2⋅1+13=x2+13\int_0^1 (x^2 + y^2)\,dy = x^2 \cdot 1 + \frac{1}{3} = x^2 + \frac{1}{3}
Step 3: Tích phân theo xx: ∫01(x2+13) dx=13+13=23\int_0^1 (x^2 + \frac{1}{3})\,dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Answer: 23\dfrac{2}{3}

Step 1: Chuyển sang cực: x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2, dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta
Step 2: Cận: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 3: Tích phân trở thành: ∫02π∫01r2⋅r dr dθ=∫02π∫01r3 dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3\, dr\, d\theta
Step 4: Trong: ∫01r3 dr=14\int_0^1 r^3\,dr = \frac{1}{4}
Step 5: Ngoài: ∫02π14 dθ=π2\int_0^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{\pi}{2}
Answer: π2\dfrac{\pi}{2}

Step 1: Miền: 0≤x≤10 \leq x \leq 1 và 0≤y≤1−x0 \leq y \leq 1 - x (Loại I)
Step 2: Thiết lập: ∫01∫01−xy dy dx\int_0^1 \int_0^{1-x} y\,dy\,dx
Step 3: Trong: ∫01−xy dy=(1−x)22\int_0^{1-x} y\,dy = \frac{(1-x)^2}{2}
Step 4: Ngoài: ∫01(1−x)22 dx=12⋅(1−x)3−3∣01=16\int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x)^3}{-3}\Big|_0^1 = \frac{1}{6}
Answer: 16\dfrac{1}{6}

Frequently Asked Questions

Dùng tọa độ cực khi miền hoặc hàm dưới dấu tích phân có đối xứng tròn — hình tròn, vành khuyên, hình quạt, hoặc các hàm theo x²+y². Jacobi r thường làm đơn giản hàm dưới dấu tích phân bằng cách triệt tiêu các thừa số.

Định lý Fubini nói rằng với một hàm số liên tục trên một hình chữ nhật (hoặc bất kỳ miền nào mà tích phân hội tụ tuyệt đối), tích phân kép bằng một tích phân lặp, và thứ tự tích phân có thể đổi mà không thay đổi kết quả.

Phác họa miền D. Tìm các mô tả tương đương dưới dạng Loại I và Loại II — nghĩa là biểu diễn cùng miền với x bị chặn bởi các đường cong của y thay vì y bị chặn bởi các đường cong của x. Viết lại tích phân với các cận mới.

Thừa số r đến từ định thức Jacobi của phép biến đổi từ (x,y) sang (r,θ). Về mặt hình học, một 'nêm' cực mỏng có diện tích r·dr·dθ, không chỉ dr·dθ.

Related Solvers

Máy tính tích phânMáy tính đạo hàmMáy tính giới hạn
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving