Máy Tính Chia Đa Thức Theo Sơ Đồ Horner

Sơ đồ Horner (chia đa thức theo lược đồ) là một cách rút gọn để chia một đa thức $p(x)$ cho một nhân tử bậc nhất $x - k$. Nó nhanh hơn chia dài và cho ra cùng thương và số dư, chỉ là viết ít hơn.

Với $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ chia cho $x - k$, sơ đồ Horner cho ra:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

trong đó $q(x)$ là thương (bậc $n - 1$) và $r$ là số dư hằng.

Các ứng dụng chính:

1. Chia đa thức nhanh khi số chia là bậc nhất dạng $x - k$.
2. Đánh giá $p(k)$ — theo Định lý Số dư, $p(k) = r$, nên số dư chính là giá trị hàm.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử — nếu $r = 0$ thì $(x - k)$ là một nhân tử và $q(x)$ cho biết nhân tử còn lại.
4. Tìm nghiệm hữu tỉ kết hợp với Định lý Nghiệm Hữu tỉ.

Thiết Lập

Để chia $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ cho $x - k$:

1. Viết nghiệm của số chia $k$ ở bên trái.
2. Liệt kê các hệ số của $p(x)$ ở bên phải, bao gồm cả số 0 cho mọi hạng tử khuyết.

Thuật Toán

1. Hạ hệ số đầu tiên ($a_n$) xuống nguyên vẹn.
2. Nhân với $k$ và viết kết quả dưới hệ số kế tiếp ($a_{n-1}$).
3. Cộng cột. Viết tổng ở hàng dưới.
4. Lặp lại: nhân tổng đó với $k$, viết dưới hệ số kế tiếp, cộng.
5. Tiếp tục cho đến khi hoàn thành tất cả các hệ số.

Đọc Kết Quả

Hàng dưới cùng chứa:

• $n$ phần tử đầu: các hệ số của thương $q(x)$ (theo bậc giảm dần).
• Phần tử cuối: số dư $r$.

Ví dụ: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

Các hệ số của $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$. Nghiệm của số chia: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

Thương: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. Số dư: $5$.

Vậy $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

Liên Hệ Với Định Lý Số Dư

Số dư $r$ trong $p(x) = (x - k)q(x) + r$ bằng $p(k)$. Thay $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

Vậy sơ đồ Horner là một cách nhanh để đánh giá $p(k)$ mà không cần thế trực tiếp.

Định Lý Nhân Tử

Một hệ quả: $(x - k)$ là một nhân tử của $p(x)$ khi và chỉ khi $p(k) = 0$ khi và chỉ khi số dư của sơ đồ Horner bằng $0$.

• Thiếu số 0 đệm chỗ: Với $p(x) = x^3 - 4x + 5$, bạn phải đặt một số $0$ cho hạng tử $x^2$ khuyết. Nếu không, các cột sẽ lệch.
• Sai dấu của $k$: Để chia cho $x - 2$, dùng $k = 2$ (nghiệm của số chia). Để chia cho $x + 3$, dùng $k = -3$.
• Không dùng trực tiếp cho số chia $ax - k$: Sơ đồ Horner như được dạy dùng cho $x - k$ (hệ số đầu bằng 1). Với $ax - k$, đặt $a$ làm nhân tử chung trước hoặc dùng chia dài đa thức.
• Quên hạ hệ số đầu tiên: Bước đầu tiên luôn là 'hạ $a_n$ xuống' — chưa nhân gì cả.
• Đọc sai thương: $n$ phần tử đầu của hàng dưới là các hệ số, và bậc giảm đi 1. Một đa thức bậc 4 chia cho $x - k$ cho thương bậc 3.