Máy tính bổ sung bình phương đủ

Bổ sung bình phương đủ là kỹ thuật đại số viết lại tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ thành:

$a(x - h)^2 + k$

trong đó $(h, k)$ là đỉnh của parabol.

Tại sao điều này quan trọng:

• Cho thấy đỉnh (điểm cực tiểu/cực đại) của parabol ngay lập tức.
• Cho phép giải mọi phương trình bậc hai mà không cần công thức nghiệm.
• Là kỹ thuật nền tảng suy ra công thức nghiệm bậc hai.
• Dùng để tính $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ trong giải tích (rút gọn về arctan).
• Cần thiết để hiểu tích phân Gauss và nhiều chủ đề trong vật lý.

Đẳng thức cốt lõi giúp nó hoạt động:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

Trường hợp 1: Hệ số dẫn đầu là 1

Với $x^2 + bx + c$:

1. Lấy một nửa của $b$ rồi bình phương: $(b/2)^2$.
2. Cộng và trừ đại lượng này: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. Nhóm bình phương đúng: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

Ví dụ: $x^2 + 6x + 5$

• Một nửa của 6 là 3. Bình phương: 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Dạng đỉnh: $(x + 3)^2 - 4$, đỉnh tại $(-3, -4)$.

Trường hợp 2: Hệ số dẫn đầu khác 1

Với $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$:

1. Đặt $a$ làm nhân tử chung của hai số hạng đầu: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. Bổ sung bình phương đủ bên trong dấu ngoặc: một nửa của $b/a$ là $b/(2a)$, bình phương là $b^2/(4a^2)$.
3. Cộng và trừ bên trong: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. Rút gọn: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

Lưu ý rằng khi bạn 'hoàn tác' số hạng đã thêm, bạn nhân với $a$ vì phần bên trong được nhân với $a$.

Giải phương trình bậc hai

Với $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Bổ sung bình phương đủ để được $a(x - h)^2 + k = 0$.
2. Cô lập số hạng bình phương: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. Lấy căn bậc hai: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. Giải: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

Đây về cơ bản là điều mà công thức nghiệm bậc hai thực hiện trong một biểu thức gọn gàng.

• Quên cân bằng: Khi bạn thêm $(b/2)^2$, bạn cũng phải trừ nó. Nếu không, bạn đã thay đổi biểu thức.
• Xử lý hệ số sai: Nếu $a \neq 1$, bạn phải đặt $a$ làm nhân tử chung của hai số hạng đầu trước khi bổ sung bình phương đủ, rồi nhân phần hiệu chỉnh với $a$ khi phân phối trở lại.
• Lỗi dấu với $\pm$: Sau khi lấy căn bậc hai, cả hai nhánh phải được giữ lại. Bỏ $\pm$ sẽ mất một nghiệm.
• Một nửa của $b$ so với $b/2a$: Khi hệ số dẫn đầu là 1, lấy một nửa của $b$. Khi không phải, đặt nhân tử chung trước — rồi lấy một nửa của hệ số mới.
• Quên rút gọn hằng số: Sau khi bổ sung bình phương đủ, gộp các hằng số còn lại thành một $k$ duy nhất.