Hàm tham số vs hàm ẩn

Tham số và ẩn là hai cách mô tả các đường cong không khớp với dạng đơn giản "$y$ là hàm của $x$".

Tham số

Dạng tham số biểu diễn cả $x$ và $y$ như các hàm của biến thứ ba $t$ (tham số, thường là thời gian):

$x = f(t), \quad y = g(t)$

Ví dụ: đường tròn bán kính 1: $x = \cos t$, $y = \sin t$ với $t \in [0, 2\pi]$.

Điểm mạnh: mô tả chuyển động một cách tự nhiên (mỗi $t$ cho một vị trí), xử lý vòng lặp và tự cắt một cách dễ dàng.

Ẩn

Dạng ẩn dùng một phương trình duy nhất:

$F(x, y) = 0$

Cùng đường tròn đó: $x^2 + y^2 - 1 = 0$.

Điểm mạnh: phương trình đại số duy nhất, dễ kiểm tra xem một điểm có nằm trên đường cong không (chỉ cần thế vào và kiểm tra).

Khi nào dùng loại nào

Tình huống	Dạng tốt nhất
Chuyển động / quỹ đạo	Tham số
Cần vi phân ẩn	Ẩn
Đường cong có tự cắt	Tham số
Biến đổi đại số / ký hiệu	Ẩn
Vẽ qua các giá trị $t$	Tham số

Ví dụ giải mẫu: đạo hàm

Với đường tròn $x^2 + y^2 = 1$:

• Vi phân ẩn: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, nên $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
• Tham số ($x = \cos t$, $y = \sin t$): $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{x}{y}$. ✓

Cả hai cho cùng đáp án; quy trình thì khác.

Chuyển đổi

Đôi khi bạn có thể chuyển đổi giữa các dạng bằng cách khử tham số (tham số → ẩn) hoặc tham số hóa (ẩn → tham số). Không phải lúc nào cũng làm được gọn gàng.