Rời rạc vs liên tục

Rời rạc vs liên tục là một trong những phân biệt quan trọng nhất trong toán học. Nhận sai loại bạn đang có dẫn đến công cụ sai, phân phối sai, kết luận sai.

Rời rạc

Một đại lượng rời rạc chỉ có thể nhận các giá trị tách biệt, thường là số nguyên hoặc một tập hữu hạn.

Ví dụ: số học sinh trong một lớp, kết quả tung xúc xắc, lỗi trên mỗi đơn vị, số lượt nhấp trên một trang web.

Công cụ toán học: tổng $\sum$, hàm khối xác suất $P(X = k)$, tổ hợp, phương trình sai phân, lý thuyết đồ thị.

Liên tục

Một đại lượng liên tục có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một khoảng, với độ chính xác tùy ý.

Ví dụ: chiều cao, cân nặng, thời gian, nhiệt độ, khoảng cách.

Công cụ toán học: tích phân $\int$, hàm mật độ xác suất $f(x)$ (trong đó $P(X = \text{giá trị chính xác}) = 0$), phương trình vi phân, giải tích.

Quyết định: khung nào?

Khía cạnh	Rời rạc	Liên tục
Giá trị	Tách biệt, đếm được	Khoảng, không đếm được
Xác suất của một giá trị chính xác	$P(X = k) > 0$	$P(X = a) = 0$ — phải dùng các khoảng
Công cụ "tổng"	$\sum$	$\int$
Loại phương trình	Phương trình sai phân	Phương trình vi phân
Phân phối thường gặp	Nhị thức, Poisson, hình học	Chuẩn, mũ, đều

Sai lầm thường gặp

• Coi số đếm là liên tục. "Hộ gia đình trung bình có 2,3 con" — ổn khi tóm tắt, nhưng xác suất "đúng 2,3 con" là vô nghĩa.
• Coi số đo là rời rạc. Nói chiều cao "là 170 cm" làm tròn một đại lượng liên tục; các kiểm định thống kê giả định tính rời rạc sẽ mất thông tin.
• Lẫn lộn trong xác suất: đừng lấy tổng một hàm mật độ liên tục; hãy tích phân nó. Đừng tích phân một hàm khối rời rạc; hãy lấy tổng.

Cầu nối giữa hai bên

Định lý giới hạn trung tâm cho phép tổng rời rạc của nhiều biến nhỏ xấp xỉ phân phối chuẩn liên tục. Hiệu chỉnh liên tục chuyển đổi giữa xác suất nhị thức (rời rạc) và chuẩn (liên tục). Tổng Riemann là cầu nối rời rạc đến tích phân.