Đạo hàm vs vi phân

Đạo hàm và vi phân là những đối tượng toán học liên hệ chặt chẽ nhưng khác biệt, và nhầm lẫn chúng là nguồn gốc của nhiều lỗi giải tích tinh vi.

Đạo hàm

Đạo hàm $f'(x)$ (hoặc $\frac{dy}{dx}$) là một hàm cho biết tốc độ thay đổi của $f$ tại mỗi $x$. Với $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$.

Bằng số: tại $x = 3$, $f'(3) = 6$ — hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.

Vi phân

Vi phân $dy$ là một biến thiên vô cùng bé của $y$ tương ứng với biến thiên vô cùng bé $dx$ của $x$:

$dy = f'(x) \, dx$

Với $y = x^2$: $dy = 2x \, dx$.

Vi phân cho phép bạn viết đạo hàm dưới dạng tỉ số của các vô cùng bé — hữu ích trong phép thế (thế $u$ trong tích phân: $du = u'(x) dx$) và trong tách biến cho phương trình vi phân.

Khi nào sự khác biệt quan trọng

Trong tích phân: $\int 2x \, dx$ dùng vi phân $dx$, không phải đạo hàm.

Trong vi phân ẩn: từ $x^2 + y^2 = 25$, lấy vi phân: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, rồi giải cho $\frac{dy}{dx}$.

Trong vật lý: $dW = F \, dx$ (công như một vi phân), không phải "công bằng đạo hàm của lực".

Xấp xỉ tuyến tính

$dy$ cũng đóng vai trò xấp xỉ tuyến tính của $\Delta y$ (biến thiên thực) với $dx$ nhỏ:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

Đây là cơ sở của lan truyền sai số, phương pháp Newton, và nền tảng xấp xỉ tuyến tính của toàn bộ giải tích.

Kết luận

Dùng đạo hàm $f'(x)$ khi bạn muốn một tốc độ / hàm. Dùng vi phân $dy = f'(x) dx$ khi bạn muốn một biến thiên vô cùng bé, đặc biệt trong tích phân, phép thế, hoặc PTVP.