Bộ công cụ sinh tồn các đẳng thức lượng giác

Có hàng chục đẳng thức lượng giác, nhưng trong thực tế bạn chỉ cần ghi nhớ khoảng một chục — phần còn lại có thể suy ra trong vài giây từ những đẳng thức đó. Trang này chính là bộ công cụ sinh tồn: mọi đẳng thức xứng đáng được giữ lại, kèm các ví dụ giải ngắn gọn cho từng cái.

Bộ ba Pythagore

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Đẳng thức đầu tiên là đẳng thức được dùng nhiều nhất trong toàn bộ toán học. Hai đẳng thức còn lại thu được bằng cách chia cả hai vế cho $\cos^2$ hoặc $\sin^2$.

Công thức tổng và hiệu

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Mẹo nhớ cho cos: "cos cos trừ sin sin" với dấu ngược lại — sin là "sin cos cộng cos sin" với dấu giống nhau.

Công thức góc nhân đôi

Thay $\alpha = \beta = \theta$ vào các công thức tổng:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Có ba dạng của phiên bản cosin nhờ đẳng thức Pythagore. Hãy chọn dạng nào khớp với phần còn lại của biểu thức của bạn.

Công thức góc chia đôi

Giải phương trình góc nhân đôi của cosin theo $\sin^2$ và $\cos^2$ ta được:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Đây là các đẳng thức hạ bậc — chúng chính là cách để $\int \sin^2 x \, dx$ trở nên sơ cấp.

Ví dụ giải: rút gọn

Rút gọn $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. Tử số: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Mẫu số: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. Thương: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Toàn bộ biểu thức rối rắm rút gọn lại thành $\tan x$.

Những lỗi thường gặp

• Lỗi dấu trong các công thức tổng — hãy viết công thức ra, đừng tin vào trí nhớ giữa chừng khi giải.
• $\sin^2\theta$ nghĩa là $(\sin\theta)^2$, không phải $\sin(\sin\theta)$.
• Quên rằng $2\theta$ là góc, không phải 2 lần giá trị — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$, không phải $2\sin 30°$.

Thử với Trình giải Lượng giác AI

Trình giải Lượng giác nhận bất kỳ biểu thức nào và áp dụng tất cả các đẳng thức này để rút gọn hoặc giải nó.

Tài liệu tham khảo liên quan:

• Máy tính Rút gọn — cùng ý tưởng rút gọn, theo hướng đa thức
• Máy tính Tích phân — hạ bậc là yếu tố then chốt cho các tích phân lượng giác
• Máy tính Chuỗi — khai triển Taylor của sin và cos dùng trực tiếp các đẳng thức này