Giải thích chuỗi Taylor: Xấp xỉ mọi hàm số bằng đa thức

Nếu đạo hàm nắm bắt độ dốc của một hàm số tại một điểm, thì chuỗi Taylor nắm bắt toàn bộ hàm số tại một điểm — bằng cách xếp chồng vô số đạo hàm. Chúng là cầu nối giữa giải tích và tính toán số: mỗi lần máy tính của bạn tính $\sin(0.4)$, nó đang âm thầm cộng một chuỗi Taylor bên trong.

Công thức chuỗi Taylor

Chuỗi Taylor của một hàm $f$ tâm tại $x = a$ là:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n$

Nghĩa là: tính giá trị của $f$, $f'$, $f''$, $f'''$, … tại điểm $a$, rồi dựng một đa thức mà số hạng thứ $n$ của nó là $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$.

Khi $a = 0$, chuỗi được gọi là chuỗi Maclaurin — trường hợp phổ biến nhất.

Vì sao điều này hiệu quả?

Xung quanh điểm $a$, một hàm số trông giống như tiếp tuyến của nó (số hạng $n=1$), rồi giống như một parabol bao gồm độ cong ($n=2$), rồi một đa thức bậc ba, và cứ thế tiếp tục. Mỗi đạo hàm bậc cao hơn nắm bắt thông tin hình dạng tinh tế hơn. Cộng vô hạn số hạng và (với các hàm "đẹp") bạn khôi phục lại $f$ một cách chính xác.

Ba khai triển Maclaurin kinh điển

Hãy thuộc lòng ba khai triển này — chúng xuất hiện liên tục:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$

Chuỗi của hàm mũ có mọi lũy thừa; sin chỉ có lũy thừa lẻ; cos chỉ có lũy thừa chẵn. Tính đối xứng đó là hệ quả trực tiếp của việc đạo hàm nào bằng không tại $0$.

Ví dụ giải chi tiết: dựng $\sin x$ từ đầu

Đặt $f(x) = \sin x$. Tại $a = 0$:

• $f(0) = 0$
• $f'(0) = \cos(0) = 1$
• $f''(0) = -\sin(0) = 0$
• $f'''(0) = -\cos(0) = -1$
• $f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0$
• Quy luật lặp lại sau mỗi 4 đạo hàm.

Thế vào công thức Taylor:
$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + 0 \cdot \frac{x^2}{2!} + (-1)\frac{x^3}{3!} + 0 + \frac{x^5}{5!} - \dots$
rút gọn thành $x - x^3/6 + x^5/120 - \dots$. Giống công thức ở trên.

Xấp xỉ trong thực tế

Với $x$ nhỏ gần 0, chỉ vài số hạng đầu cũng cực kỳ chính xác:

• $\sin(0.1) \approx 0.1 - 0.001/6 \approx 0.09983$ (giá trị thực: $0.0998334\dots$).

Đây là lý do xấp xỉ góc nhỏ $\sin x \approx x$ là hợp lệ: số hạng tiếp theo rất nhỏ khi $x$ nhỏ.

Sự hội tụ — khi nào nó thực sự bằng $f$?

Chuỗi Taylor có một bán kính hội tụ $R$. Với $|x - a| < R$ thì chuỗi bằng $f(x)$; ngoài khoảng đó, chuỗi phân kỳ. Một số hàm ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$) có $R = \infty$. Những hàm khác, như $1/(1-x)$ tâm tại 0, có $R = 1$.

Những lỗi thường gặp

• Quên mẫu số giai thừa $n!$.
• Lẫn lộn các khai triển chuỗi — sin có lũy thừa lẻ, cos có lũy thừa chẵn, $e^x$ có tất cả.
• Giả định sự hội tụ mà không kiểm tra bán kính.

Thử với AI Series Solver

Dùng Máy tính chuỗi để tính các khai triển Taylor cho mọi hàm số — nó hiển thị các bước đạo hàm, đa thức kết quả, và một phép kiểm tra số học hợp lý.

Liên kết liên quan:

• Máy tính đạo hàm — những viên gạch dựng nên mọi chuỗi Taylor
• Máy tính giới hạn — hội tụ là một câu hỏi về giới hạn
• Máy tính tích phân — chuỗi Taylor có thể được tích phân theo từng số hạng