Giải một hệ phương trình nghĩa là tìm các giá trị thỏa mãn tất cả các phương trình cùng một lúc. Ba kỹ thuật chuẩn đều có một trường hợp phát huy tốt nhất — biết chọn cái nào sẽ tiết kiệm thời gian cho mọi bài tập.

Phương pháp 1: Phương pháp thế

Tốt nhất khi một biến đã được cô lập (hoặc dễ cô lập).

Quy trình:

Giải một phương trình theo một biến.
Thế biểu thức đó vào phương trình còn lại.
Giải phương trình một biến thu được.
Thế ngược lại để tìm biến thứ hai.

Ví dụ: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ đã được cô lập. Thế vào phương trình thứ hai: $3x + (2x + 1) = 11$ , nên $5x = 10$ , $x = 2$ .
Thế ngược lại: $y = 2(2) + 1 = 5$ .
Nghiệm: $(2, 5)$ .

Phương pháp 2: Phương pháp khử (tổ hợp tuyến tính)

Tốt nhất khi các hệ số khớp nhau để triệt tiêu một biến bằng phép cộng / trừ.

Quy trình:

Nhân một hoặc cả hai phương trình với các hằng số sao cho hệ số của một biến đối nhau (ví dụ $+3y$ và $-3y$ ).
Cộng các phương trình để khử biến đó.
Giải phương trình một biến còn lại.
Thế ngược lại.

Ví dụ: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ và $-3y$ đã đối nhau. Cộng lại: $6x = 18$ , $x = 3$ .
Thế ngược lại: $2(3) + 3y = 12$ , $3y = 6$ , $y = 2$ .
Nghiệm: $(3, 2)$ .

Phương pháp 3: Phương pháp ma trận

Cho các hệ lớn hơn (từ 3 biến trở lên) hoặc giải có hỗ trợ máy tính:

Quy tắc Cramer: $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ trong đó $A_i$ là $A$ với cột thứ $i$ thay bằng các hằng số. Áp dụng được cho mọi kích thước, nhưng việc tính $\det$ tăng rất nhanh.
Khử Gauss: rút gọn theo hàng ma trận bổ sung $[A | \vec{b}]$ về dạng bậc thang theo hàng, rồi thế ngược. Đây là phương pháp chuẩn cho các hệ lớn.
Ma trận nghịch đảo: $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ . Chỉ áp dụng được nếu $A$ vuông và khả nghịch (định thức khác không).

Với hệ 2×2 giải bằng tay, phương pháp thế hoặc khử hầu như luôn thắng. Phương pháp ma trận phát huy với từ 3 biến trở lên.

Ba khả năng cho tập nghiệm

Mọi hệ tuyến tính đều rơi vào đúng một trong các trường hợp:

Một nghiệm duy nhất: các đường thẳng (hoặc mặt phẳng) cắt nhau tại một điểm.
Vô nghiệm: các phương trình mâu thuẫn (các đường thẳng song song không gặp nhau) — hệ vô nghiệm.
Vô số nghiệm: các phương trình mô tả cùng một đường thẳng / mặt phẳng — hệ phụ thuộc.

Dấu hiệu đại số:

" $x = 5$ " → nghiệm duy nhất.
" $0 = 7$ " → mâu thuẫn → vô nghiệm.
" $0 = 0$ " → đồng nhất thức → vô số nghiệm.

Những lỗi thường gặp

Lỗi dấu khi phân phối trong lúc thế. Đặt ngoặc cẩn thận.
Quên nhân cả hai vế trong lúc nhân tỉ lệ để khử.
Dừng lại sau khi tìm được $x$ . Cả hai biến đều quan trọng; hãy thế ngược lại.
Bỏ qua sự mâu thuẫn. Nếu bạn được $0 = 7$ , đó chính là đáp án ("vô nghiệm"), không phải lỗi tính toán.

Tự mình thử

Đưa bất kỳ hệ nào vào Trình giải Hệ phương trình miễn phí của chúng tôi — AI tự động chọn phương pháp thế / khử và hiển thị từng bước.

Liên quan:

Ba cách giải hệ phương trình

Làm chủ hệ phương trình với phương pháp thế, khử và ma trận. Ví dụ giải mẫu cho hệ 2×2 và 3×3, kèm theo khi nào mỗi phương pháp phát huy tốt nhất.