Tốc độ liên quan: chiến lược giải toán 6 bước có thể lặp lại

Các bài toán tốc độ liên quan nghe có vẻ trừu tượng — "một cái thang trượt xuống tường, đỉnh thang rơi xuống nhanh thế nào?" — nhưng tất cả đều theo cùng một mẫu sáu bước. Nắm vững công thức này và những bài toán này sẽ chuyển từ đáng sợ sang máy móc.

Công thức 6 bước

1. Đọc đề bài hai lần và xác định mọi đại lượng. Vẽ phác họa.
2. Gán nhãn các đại lượng thay đổi bằng chữ cái; các hằng số bằng con số.
3. Tìm một phương trình liên hệ các đại lượng đang thay đổi (hình học, Pythagoras, tam giác đồng dạng, diện tích, thể tích…).
4. Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian $t$ một cách ẩn. Mỗi đại lượng thay đổi đóng góp một số hạng $\frac{d \cdot}{dt}$.
5. Thế các giá trị tại thời điểm chụp chỉ sau khi đã lấy đạo hàm. Thế quá sớm sẽ phá hủy thông tin về tốc độ.
6. Giải tìm tốc độ chưa biết và kiểm tra lại đơn vị.

Ví dụ 1: chiếc thang đang trượt

Một chiếc thang dài 13 ft tựa vào tường. Chân thang trượt ra ngoài với tốc độ 2 ft/giây. Đỉnh thang trượt xuống nhanh thế nào khi chân thang cách tường 5 ft?

1. Biến số: $x$ = khoảng cách chân thang, $y$ = chiều cao đỉnh thang. Cả hai đều thay đổi theo $t$.
2. Ràng buộc: $x^2 + y^2 = 169$ (Pythagoras — chiều dài thang là hằng số).
3. Lấy đạo hàm: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$.
4. Thời điểm chụp: $x = 5$, nên $y = \sqrt{169 - 25} = 12$. Cho trước $\frac{dx}{dt} = 2$.
5. Giải: $2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ ft/giây.

Đỉnh thang rơi với tốc độ $5/6$ ft/giây. Dấu âm nghĩa là chiều cao đang giảm — kiểm tra tính hợp lý đạt yêu cầu.

Ví dụ 2: hình nón đang được đổ đầy nước

Nước được rót vào một hình nón (đỉnh hướng xuống) với tốc độ $3 \text{ ft}^3/\text{min}$. Hình nón có chiều cao 10 ft và bán kính đáy trên 4 ft. Mực nước dâng lên nhanh thế nào khi độ sâu là 6 ft?

1. Biến số: $V$ = thể tích nước, $h$ = độ sâu nước, $r$ = bán kính mặt nước.
2. Thể tích hình nón: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Dùng tam giác đồng dạng: $r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$.
3. Thế về một biến: $V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$.
4. Lấy đạo hàm: $\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
5. Thế $h = 6$, $\frac{dV}{dt} = 3$: $3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$.
6. Giải: $\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ ft/min.

Những lỗi thường gặp

• Thế số quá sớm — đạo hàm "đóng băng" mối quan hệ; bạn mất thông tin về cách mọi thứ thay đổi.
• Quên quy tắc dây chuyền khi lấy đạo hàm thứ gì đó như $r^2$ — nó trở thành $2r \frac{dr}{dt}$, không phải $2r$.
• Không loại bỏ các biến phụ bằng tam giác đồng dạng trước khi lấy đạo hàm.

Thử với AI Derivative Solver

Dùng Máy tính Đạo hàm để kiểm chứng bất kỳ bước lấy đạo hàm tốc độ liên quan nào — đặc biệt là các bước ẩn.

Tài liệu tham khảo liên quan:

• Máy tính Giới hạn — đạo hàm về bản chất là giới hạn
• Máy tính Tích phân — người bạn đồng hành nguyên hàm
• Solver Tam giác — cho thiết lập hình học của nhiều bài toán