Giải thích các quy tắc lũy thừa: Mọi định luật kèm ví dụ giải mẫu

Lũy thừa nén phép nhân lặp lại thành một ký hiệu duy nhất thanh lịch. Một khi bạn đã thuộc nằm lòng bảy quy tắc dưới đây, việc rút gọn các biểu thức như $\frac{x^5 y^{-2}}{x^{-3} y^4}$ trở thành một bài tập 30 giây. Trang này là bảng tra cứu nhanh bạn có thể để mở trong khi làm bài tập về nhà.

Vì sao lũy thừa lại quan trọng

Các quy tắc lũy thừa không hề tùy tiện — tất cả đều xuất phát từ định nghĩa $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ thừa số}}$. Một khi bạn thấy vì sao mỗi quy tắc đúng, bạn không còn học thuộc mà bắt đầu suy ra khi cần.

Bảy định luật cốt lõi

#	Định luật	Ví dụ
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
2	$a^m / a^n = a^{m-n}$	$x^7 / x^2 = x^5$
3	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(x^2)^3 = x^6$
4	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
5	$(a/b)^n = a^n / b^n$	$(x/y)^4 = x^4/y^4$
6	$a^{-n} = 1/a^n$	$x^{-3} = 1/x^3$
7	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

Cộng thêm hai trường hợp theo định nghĩa: $a^0 = 1$ với mọi $a \ne 0$, và $a^1 = a$.

Ví dụ giải mẫu: kết hợp các quy tắc

Rút gọn $\frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$.

1. Áp dụng quy tắc 4 cho biểu thức trong ngoặc: $(2x^3)^2 = 4x^6$.
2. Thế vào: $\frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$.
3. Triệt tiêu các số 4: $\frac{x^6 \cdot x^{-4}}{x^{-1}}$.
4. Gộp tử số bằng quy tắc 1: $\frac{x^2}{x^{-1}}$.
5. Áp dụng quy tắc 2: $x^{2 - (-1)} = x^3$.

Toàn bộ phép rút gọn chỉ là việc ghi sổ — các quy tắc sẽ dẫn dắt bạn.

Trực giác về số mũ âm và số mũ phân số

Một số mũ âm không có nghĩa là "số âm"; nó có nghĩa là nghịch đảo. Vậy $5^{-2} = 1/25$, không phải $-25$.

Một số mũ phân số $a^{p/q}$ là căn rồi lũy thừa (hoặc lũy thừa rồi căn, cùng một đáp án). Mẫu số chọn bậc của căn, tử số chọn số mũ của lũy thừa: $32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$.

Những sai lầm thường gặp

• $(a + b)^n \ne a^n + b^n$ — lũy thừa không phân phối qua phép cộng. $(2 + 3)^2 = 25$, không phải $4 + 9$.
• $a^{-n} \ne -a^n$ — số mũ âm là nghịch đảo, không phải đổi dấu.
• $0^0$ theo quy ước bằng $1$ trong đại số và tổ hợp, nhưng không xác định trong một số ngữ cảnh giải tích. Hãy cẩn thận khi còn nghi ngờ.

Thử với Trình giải lũy thừa AI

Dán bất kỳ biểu thức nào vào Trình giải lũy thừa / Rút gọn và bạn sẽ nhận được phép rút gọn theo từng bước sử dụng đúng các quy tắc ở trên.

Liên kết liên quan:

• Máy tính rút gọn — để dọn dẹp đại số tổng quát
• Máy tính logarit — phép toán nghịch đảo của lũy thừa
• Máy tính đa thức — nơi các quy tắc lũy thừa xuất hiện nhiều nhất