Hoàn thành bình phương: một hướng dẫn cuối cùng cũng vỡ lẽ

Hoàn thành bình phương là một trong những thao tác đại số mà học sinh nhìn thấy một lần rồi quên. Nhưng đó là kỹ thuật duy nhất đứng sau công thức nghiệm bậc hai, dạng đỉnh của parabol, và một vài tích phân giải tích thường gặp. Một khi bạn thấm nhuần thủ thuật này, bạn có một công cụ dùng được mãi mãi.

Ý tưởng cốt lõi

Nhị thức bình phương $(x + h)^2$ khai triển thành $x^2 + 2hx + h^2$. Để biến bất kỳ biểu thức $x^2 + bx$ nào thành một bình phương hoàn hảo, bạn cần cộng thêm $\left(\frac{b}{2}\right)^2$. Đó là toàn bộ thủ thuật.

Ví dụ có lời giải: trường hợp hệ số dẫn đầu bằng 1

Hoàn thành bình phương trên $x^2 + 6x + 5$.

1. Lấy một nửa hệ số bậc nhất: $b/2 = 3$.
2. Bình phương nó: $9$.
3. Viết lại: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$.

Ta đã cộng 9 và trừ 9 — tổng bằng không, nhưng ba số hạng đầu giờ tạo thành một bình phương hoàn hảo.

Ví dụ có lời giải: trường hợp hệ số dẫn đầu khác 1

Hoàn thành bình phương trên $2x^2 + 12x + 7$.

1. Đặt 2 làm thừa số chung cho hai số hạng đầu: $2(x^2 + 6x) + 7$.
2. Bên trong dấu ngoặc, hoàn thành bình phương: $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$.
3. Thế ngược lại: $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$.

Ứng dụng 1: giải phương trình bậc hai

Để giải $x^2 + 6x + 5 = 0$:
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$.

Cùng đáp án như công thức nghiệm bậc hai, được dẫn ra từ đầu.

Ứng dụng 2: đỉnh của parabol

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ ở dạng đỉnh $y = a(x - h)^2 + k$. Đỉnh ở $(h, k) = (-3, -11)$, mở lên trên (vì $a > 0$). Bạn có thể đọc ra điều này mà không cần giải tích.

Ứng dụng 3: tích phân

Các tích phân như $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ chống lại cách tấn công trực tiếp nhưng chịu thua khi hoàn thành bình phương: $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$, rồi thế $u = x + 2$ để nhận ra một hàm arctang.

Những lỗi thường gặp

• Quên trừ đi thứ bạn đã cộng — biểu thức phải vẫn bằng chính nó.
• Không đặt hệ số dẫn đầu làm thừa số chung trước trong các trường hợp khác 1.
• Chia đôi sai hệ số — đó là hệ số bậc nhất $b$, không phải hệ số dẫn đầu $a$.

Thử với AI Quadratic Solver

Solver Bậc hai hiển thị cách tiếp cận hoàn thành bình phương song song với công thức nghiệm bậc hai.

Tài liệu tham khảo liên quan:

• Máy tính Phân tích Thừa số — con đường thay thế đến các nghiệm
• Solver Phương trình — bộ công cụ giải phương trình rộng hơn
• Máy tính Tích phân — cho ứng dụng giải tích ở trên