فاصلہ فارمولا کیلکولیٹر

فاصلہ فارمولا متناسق فضا میں دو نقطوں کے درمیان سیدھی لکیر کا فاصلہ نکالتا ہے۔ یہ نقطوں کے درمیان افقی اور عمودی جدائی سے بننے والے قائم الزاویہ مثلث پر لاگو فیثاغورس مسئلے کا براہ راست نتیجہ ہے۔

2D شکل — نقطوں $P_1 = (x_1, y_1)$ اور $P_2 = (x_2, y_2)$ کے لیے:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

3D شکل — نقطوں $(x_1, y_1, z_1)$ اور $(x_2, y_2, z_2)$ کے لیے:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$n$-جہتی شکل (اقلیدسی فاصلہ):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

یہ کسی بھی تعداد کی جہتوں تک قدرتی طور پر عام ہو جاتا ہے، اسی لیے یہ طبیعیات، شماریات، اور مشین لرننگ میں محنتی 'فاصلہ' تصور ہے۔

مرحلہ وار

1. نقطوں کو نام دیں $(x_1, y_1)$ اور $(x_2, y_2)$۔ کوئی بھی تفویض کام کرتی ہے — فارمولا متناظر ہے۔
2. فرق نکالیں: $\Delta x = x_2 - x_1$، $\Delta y = y_2 - y_1$۔
3. انہیں مربع کریں: $(\Delta x)^2$ اور $(\Delta y)^2$۔
4. جمع کریں: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$۔
5. مربع جذر لیں: $d = \sqrt{\text{sum}}$۔
6. اگر ممکن ہو تو جذر کو سادہ کریں (مثلاً، $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$)۔

ہندسی اخذ

$(x_1, y_1)$ سے $(x_2, y_1)$ تک ایک افقی قطعہ کھینچیں — لمبائی $|x_2 - x_1|$۔
$(x_2, y_1)$ سے $(x_2, y_2)$ تک ایک عمودی قطعہ کھینچیں — لمبائی $|y_2 - y_1|$۔
اصل قطعہ ان دو پنڈلیوں والے قائم الزاویہ مثلث کا وتر ہے، لہٰذا فیثاغورس مسئلے کے مطابق:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

مربع جذر لینے سے فاصلہ فارمولا ملتا ہے۔ مطلق قدریں درکار نہیں کیونکہ مربع کرنا علامت ہٹا دیتا ہے۔

متعلقہ فارمولے

• وسطی نقطہ: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — متناسق کی اوسط۔
• ڈھلان: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — فاصلہ فارمولے جیسے ہی فرق استعمال کرتا ہے۔
• نقطے سے مبدأ تک فاصلہ: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ ($(x_1, y_1) = (0, 0)$ کے ساتھ خاص صورت)۔

مین ہٹن / ٹیکسی کیب فاصلہ (موازنے کے لیے)

نوٹ کریں کہ اوپر کا فارمولا اقلیدسی فاصلہ ہے۔ مین ہٹن فاصلہ $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ ایک جالی پر سفر ناپتا ہے (کوئی قطر نہیں)۔ یہ مختلف میٹرک ہیں — یقینی بنائیں کہ آپ جانتے ہیں کہ آپ کا مسئلہ کون سا چاہتا ہے۔

• مربع کرنا بھولنا: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$۔ مربع (اور مربع جذر) ضروری ہیں۔
• علامت کی غلطیاں: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$، لہٰذا منفی کی ترتیب اہمیت نہیں رکھتی — لیکن صرف مربع کی وجہ سے۔ مربع نہ چھوڑیں کیونکہ آپ فرق 'دیکھتے' ہیں۔
• مربع جذر لینا بھولنا: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$، $d^2$ ہے، نہ کہ $d$۔ بہت سے طلبا ایک قدم پہلے رک جاتے ہیں۔
• جذر سادہ نہ کرنا: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$۔ $\sqrt{8}$ کے طور پر چھوڑنا تکنیکی طور پر درست ہے لیکن امتحانات میں عموماً نمبر کاٹے جاتے ہیں۔
• 2D اور 3D ملانا: اگر آپ کا مسئلہ 3D میں ہے، تو $(z_2 - z_1)^2$ جزو شامل کریں۔ اگر 2D، تو $z$ جزو ایجاد نہ کریں۔