جزوی مشتق کیلکولیٹر

ایک جزوی مشتق پیمائش کرتا ہے کہ ایک کثیر متغیر فنکشن دیگر کو ثابت رکھتے ہوئے ایک متغیر کے حوالے سے کیسے بدلتا ہے۔ $f(x, y)$ کے لیے:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

علامت $\partial$ (گھمی d) جزوی مشتقات کو عام مشتقات $\frac{d}{dx}$ سے ممتاز کرتی ہے۔ مساوی علامتوں میں $f_x$، $\partial_x f$، $D_x f$ شامل ہیں۔

ہندسی معنی: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$، سطح $z = f(x,y)$ کی $(a,b)$ پر $x$-سمت میں ڈھلان ہے — مماس لکیر مستوی $y = b$ میں ہوتی ہے۔

یہ کیوں اہم ہے: میلانی نزول، بہترین بنانا، خطا کی پھیلاؤ، اور زیادہ تر سمتی کیلکولس جزوی مشتقات پر مبنی ہیں۔ میلان $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ شدید ترین چڑھائی کی سمت کی طرف اشارہ کرتا ہے۔

قاعدہ 1: دیگر متغیروں کو ثابت سمجھیں

$\frac{\partial f}{\partial x}$ نکالنے کے لیے، $y, z, \ldots$ کو ثابت سمجھیں اور $f$ کا $x$ کے یک متغیر فنکشن کے طور پر تفرق کریں۔

مثال: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ ($3y$ غائب ہو جاتا ہے کیونکہ اس میں $x$ نہیں)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ ایک سرخیل عدد کے طور پر کام کرتا ہے)

قاعدہ 2: زنجیر قاعدہ اور ضرب قاعدہ اب بھی لاگو ہوتے ہیں

$f(x, y) = \sin(xy)$ کے لیے:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

قوس کے اندر $y$ کو $xy$ کا $x$ کے حوالے سے تفرق کرتے وقت ثابت سرخیل عدد کے طور پر برتا جاتا ہے۔

اعلیٰ درجے کی جزوی

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

کلیراؤٹ کا مسئلہ (مخلوط جزوی): اگر $f$ کے مسلسل دوسرے جزوی ہوں، تو $f_{xy} = f_{yx}$۔ تفرق کی ترتیب اہمیت نہیں رکھتی۔

میلان اور سمتی مشتق

میلان تمام پہلے جزوی کا سمتیہ ہے:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

سمت $\mathbf{u}$ (اکائی سمتیہ) میں سمتی مشتق یہ ہے:

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

زیادہ سے زیادہ ہوتا ہے جب $\mathbf{u}$، $\nabla f$ کے ساتھ اشارہ کرے — یہ شدید ترین چڑھائی کی سمت ہے۔

زنجیر قاعدہ (کثیر متغیر)

اگر $z = f(x, y)$ اور $x = x(t), y = y(t)$:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• غلط متغیر کا تفرق کرنا: ہمیشہ شناخت کریں کہ کون سا متغیر 'فعال' ہے اور کون سے ثابت رکھے گئے ہیں۔ اپنے کچے کام میں فعال متغیر کے نیچے لکیر کھینچنا مدد دیتا ہے۔
• زنجیر قاعدہ بھولنا: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$، نہ کہ صرف $\cos(xy)$۔
• علامت کی الجھن: $f_{xy}$ کا مطلب ہے پہلے $x$ کے حوالے سے، پھر $y$ کے حوالے سے تفرق کریں (کچھ کتابیں اسے الٹ کرتی ہیں — اصطلاح جانچیں)۔
• غلط میلان سمت: $\nabla f$، شدید ترین چڑھائی کی سمت کی طرف اشارہ کرتا ہے، حرکت کی نہیں۔ کم سے کم کرنے کے لیے، $\nabla f$ کے مخالف حرکت کریں۔
• جزوی اور کل مشتقات کو ملانا: جب $x$ اور $y$ دونوں $t$ پر منحصر ہوں، تو زنجیر قاعدہ استعمال کریں — نہ کہ $\partial f/\partial t$، جو صفر ہے اگر $f$ میں واضح $t$ نہ ہو۔