AI Math
ایپ کھولیں

لاپلاس تبدیلی کیلکولیٹر

AI سے چلنے والے مرحلہ وار حل کے ساتھ لاپلاس اور معکوس لاپلاس تبدیلیاں نکالیں

گھسیٹ کر چھوڑیں یا کلک کریں تصاویر یا PDF شامل کرنے کے لیے

∑Math Input
Laplace transform of e^(2t)*sin(3t)
Laplace transform of t^2
inverse Laplace of 1/(s^2 + 4)
inverse Laplace of s/((s-1)(s+2))

لاپلاس تبدیلی کیا ہے؟

لاپلاس تبدیلی وقت کے فنکشن f(t)f(t) کو مرکب تعدد کے فنکشن F(s)F(s) میں بدل دیتی ہے:

F(s)=L{f(t)}=∫0∞e−stf(t) dtF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt

تبدیلی کسی دائیں نصف مستوی Re⁡(s)>σ\operatorname{Re}(s) > \sigma میں ss کے لیے تعریف کی جاتی ہے جہاں تکامل یکجا ہوتا ہے۔

یہ کیوں مفید ہے: لاپلاس تفرق کو ss سے ضرب میں بدل دیتی ہے، ثابت سرخیل اعداد والی خطی ODE کو ss میں الجبری مساوات میں تبدیل کرتی ہے۔ آپ الجبرا حل کرتے ہیں، پھر وقت کے میدان میں جواب حاصل کرنے کے لیے معکوس لاپلاس تبدیلی لیتے ہیں۔

لاپلاس تبدیلیاں منقطع اور تکانہ آدانوں (قدمی فنکشنز، ڈیراک ڈیلٹا) کو بھی خوبصورتی سے سنبھالتی ہیں، جو انہیں کنٹرول نظریہ، سگنل پروسیسنگ، اور برقی انجینئرنگ میں ناگزیر بناتا ہے۔

لاپلاس تبدیلیاں کیسے نکالیں

بنیادی تبدیلی جوڑے

بنیادی جدول یاد کریں:

f(t)f(t)F(s)=L{f(t)}F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}
111s\dfrac{1}{s}
tnt^nn!sn+1\dfrac{n!}{s^{n+1}}
eate^{at}1s−a\dfrac{1}{s - a}
sin⁡(ωt)\sin(\omega t)ωs2+ω2\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}
cos⁡(ωt)\cos(\omega t)ss2+ω2\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}
u(t−a)u(t - a) (قدم)e−ass\dfrac{e^{-as}}{s}
δ(t−a)\delta(t - a)e−ase^{-as}

اہم خصوصیات

خطیت:

L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)

پہلی منتقلی (s-منتقلی):

L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)

اسی طرح eatsin⁡(ωt)→ω(s−a)2+ω2e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}۔

tt-میدان میں تفرق:

L{f′(t)}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)

L{f′′(t)}=s2F(s)−sf(0)−f′(0)\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)

یہی ODE کو الجبرا میں بدلتا ہے: مشتقات F(s)F(s) سے ضرب شدہ ss میں کثیر رقمی بن جاتے ہیں، ابتدائی شرائط شامل کے ساتھ۔

tt سے ضرب:

L{tf(t)}=−F′(s)\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)

معکوس لاپلاس تبدیلی

F(s)F(s) دیا گیا ہو، f(t)f(t) نکالیں ایسے کہ L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)۔ معیاری تکنیکیں:

  1. جزوی کسر: F(s)F(s) کو جدول سے مطابق سادہ ناطق ٹکڑوں میں تجزیہ کریں۔
  2. مربع مکمل کرنا: 1s2+bs+c\frac{1}{s^2 + bs + c} شکلوں کے لیے، منتقل شدہ سائن جدول اندراج سے مطابق 1(s−a)2+ω2\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2} کے طور پر دوبارہ لکھیں۔
  3. خطیت کا استعمال کرتے ہوئے دیکھیں اور ملائیں۔

لاپلاس سے ODE حل کرنا

y′′+3y′+2y=e−ty'' + 3y' + 2y = e^{-t}، y(0)=0,y′(0)=1y(0) = 0, y'(0) = 1 کے لیے:

  1. لاپلاس لاگو کریں: s2Y−s⋅0−1+3(sY−0)+2Y=1s+1s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}
  2. YY کے لیے حل کریں: Y(s2+3s+2)=1+1s+1Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}، لہٰذا Y=s+2(s+1)(s2+3s+2)=1(s+1)2Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2} (سادہ کرنے کے بعد)۔
  3. معکوس کریں: y(t)=te−ty(t) = t e^{-t}۔

صاف اور میکانکی — پیرامیٹرز کی تبدیلی کے ساتھ وہی مسئلہ دوگنا کام لیتا ہے۔

بچنے کے لیے عام غلطیاں

  • ابتدائی شرائط بھولنا: L{f′}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)۔ f(0)f(0) چھوڑنا واحد سب سے عام غلطی ہے۔
  • s-منتقلی میں غلط علامت: L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)، نہ کہ F(s+a)F(s + a)۔ علامت اہمیت رکھتی ہے۔
  • عدم تسلسل کا غلط انتظام: قدمی آدانوں کے لیے، اکائی-قدم فنکشن u(t−a)u(t-a) اور وقت-منتقلی مسئلہ L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s) استعمال کریں۔
  • جزوی کسر کے بغیر معکوس تبدیلی: 1(s−1)(s+2)\frac{1}{(s-1)(s+2)} براہ راست معکوس نہیں ہوتا — پہلے تجزیہ کریں۔
  • F(s)F(s) کو L−1{F}\mathcal{L}^{-1}\{F\} سے الجھانا: F(s)F(s) تبدیلی ہے، f(t)f(t) اصل ہے۔ ODE مسائل ہمیشہ وقت کے میدان میں واپس ختم کریں۔

Examples

Step 1: f(t)=tf(t) = t، a=2a = 2 کے ساتھ قاعدہ L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a) استعمال کریں
Step 2: L{t}=1/s2\mathcal{L}\{t\} = 1/s^2، لہٰذا F(s)=1/s2F(s) = 1/s^2
Step 3: s-منتقلی لاگو کریں: L{te2t}=1/(s−2)2\mathcal{L}\{t e^{2t}\} = 1/(s-2)^2
Answer: 1(s−2)2\dfrac{1}{(s - 2)^2}

Step 1: جدول سے موازنہ کریں: L{sin⁡(ωt)}=ω/(s2+ω2)\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \omega / (s^2 + \omega^2)
Step 2: یہاں ω2=4\omega^2 = 4 لہٰذا ω=2\omega = 2
Step 3: ثابت ایڈجسٹ کریں: 1s2+4=12⋅2s2+4\frac{1}{s^2+4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^2+4}
Step 4: لہٰذا L−1{1/(s2+4)}=12sin⁡(2t)\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+4)\} = \frac{1}{2}\sin(2t)
Answer: 12sin⁡(2t)\dfrac{1}{2}\sin(2t)

Step 1: جزوی کسر: s(s−1)(s+2)=As−1+Bs+2\frac{s}{(s-1)(s+2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+2}
Step 2: ضرب کر کے کھولیں: s=A(s+2)+B(s−1)s = A(s+2) + B(s-1)
Step 3: s=1s = 1 رکھیں: 1=3A1 = 3A، لہٰذا A=1/3A = 1/3
Step 4: s=−2s = -2 رکھیں: −2=−3B-2 = -3B، لہٰذا B=2/3B = 2/3
Step 5: ہر ٹکڑے کو معکوس کریں: 13et+23e−2t\frac{1}{3}e^t + \frac{2}{3}e^{-2t}
Answer: 13et+23e−2t\dfrac{1}{3}e^t + \dfrac{2}{3}e^{-2t}

Frequently Asked Questions

لاپلاس تبدیلی موجود ہوتی ہے جب تکامل ∫₀^∞ e^(-st)f(t) dt یکجا ہو۔ اس کے لیے عام طور پر f کا t → ∞ کے ساتھ اسی نوعی سے زیادہ تیزی سے نہ بڑھنا، اور Re(s) کا فنکشن کے اسی نوعی درجے سے زیادہ ہونا درکار ہے۔

لاپلاس تبدیلی [0, ∞) پر کرنل e^(-st) کے ساتھ تکامل کرتی ہے جہاں s مرکب ہے؛ یہ ابتدائی قدر کے مسائل اور اسی نوعی طور پر بڑھتے آدانوں کو سنبھالتی ہے۔ فورئیر تبدیلی (-∞, ∞) پر کرنل e^(-iωt) کے ساتھ تکامل کرتی ہے؛ یہ لامحدودیت پر تحلیل ہونے والے فنکشنز کے مستحکم حالت کے تعدد مواد کو سنبھالتی ہے۔

کیونکہ ℒ{f'} = sF(s) - f(0)، t میں تفرق s-میدان میں s سے ضرب بن جاتا ہے۔ ثابت سرخیل اعداد والی خطی ODE، s میں ایک کثیر رقمی مساوات بن جاتی ہے، جسے آپ الجبری طور پر حل کرتے ہیں۔

ناطق F(s) کے لیے جہاں شمار کنندہ کا درجہ ہر کے درجے سے کم ہو، ہاں — جزوی کسر اور معیاری جدول کا استعمال کرتے ہوئے۔ غیر ناطق F(s) کے لیے، معکوس کو خط احاطہ تکامل (برومویچ تکامل) درکار ہو سکتا ہے یا اس کی کوئی بند شکل نہ ہو۔

Related Solvers

تفاضلی مساوات حل کرنے والاتکامل کیلکولیٹرمشتق کیلکولیٹر
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving