AI Math
ایپ کھولیں

ناقص تکامل کیلکولیٹر

AI مرحلہ وار حل کا استعمال کرتے ہوئے لامحدود حدود یا غیر محدود تکاملیوں والے ناقص تکامل حل کریں

گھسیٹ کر چھوڑیں یا کلک کریں تصاویر یا PDF شامل کرنے کے لیے

∑Math Input
integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

ناقص تکامل کیا ہے؟

ایک ناقص تکامل ایک معین تکامل ہے جہاں یا تو:

  1. وقفہ لامحدود ہو: مثلاً، ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx یا ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. تکاملی کا عمودی نقطہ ہائے میل وقفے کے اندر یا نقطہ اختتام پر ہو: مثلاً، ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

دونوں صورتوں میں، معیاری ریمان تکامل غیر معین ہوتا ہے، لیکن ہم بعض اوقات حدود کا استعمال کرتے ہوئے ایک محدود قدر تفویض کر سکتے ہیں۔

اگر حد موجود اور محدود ہو، تو ناقص تکامل یکجا ہوتا ہے۔ اگر حد لامحدود ہو یا موجود نہ ہو، تو تکامل منتشر ہوتا ہے۔

ناقص تکامل احتمال (معمول بنانے کے ثابت)، لاپلاس اور فورئیر تبدیلیوں، اور سلسلہ یکجائی آزمائشوں میں مرکزی ہیں۔

ناقص تکامل کیسے حل کریں

قسم 1: لامحدود وقفہ

لامحدودیت کو حد سے بدلیں:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

دونوں حدود لامحدود ہونے پر، کسی بھی آسان نقطے cc پر تقسیم کریں:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

دونوں حصے آزادانہ طور پر یکجا ہونے چاہئیں — ورنہ پورا تکامل منتشر ہوتا ہے۔

قسم 2: غیر محدود تکاملی

اگر ff، [a,b][a, b] کے اندر x=cx = c پر غیر محدود ہو، تو تقسیم کریں اور حدود لیں:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

اگر یکتائی x=ax = a پر ہو:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

pp-آزمائش

∫1∞1xp dxconverges if p>1, diverges if p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converges if } p > 1, \text{ diverges if } p \leq 1

∫011xp dxconverges if p<1, diverges if p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{converges if } p < 1, \text{ diverges if } p \geq 1

اہم طاقت p=1p = 1 ہے۔ دونوں صورتوں کے لیے متضاد یکجائی قواعد نوٹ کریں۔

موازنہ آزمائش

اگر وقفے پر 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x):

  • ∫g\int g یکجا ہو ⇒∫f\Rightarrow \int f یکجا ہوتا ہے
  • ∫f\int f منتشر ہو ⇒∫g\Rightarrow \int g منتشر ہوتا ہے

مفید جب تکامل خود مشکل ہو لیکن حد آسان ہو۔

بچنے کے لیے عام غلطیاں

  • ∞\infty کو عدد کی طرح برتنا: آپ ∞\infty 'رکھ' نہیں سکتے۔ آپ کو حد استعمال کرنی ہوگی۔
  • اندرونی یکتائیاں چھوٹ جانا: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx کی وقفے کے اندر 00 پر یکتائی ہے۔ سادہ لوحی سے حل کرنے سے 00 (غلط) ملتا ہے — تکامل دراصل منتشر ہوتا ہے۔
  • ٹکڑے ٹکڑے ناقص تکامل جوڑنا جو 'منسوخ' ہوں: ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — دونوں آدھے منتشر ہوتے ہیں، لہٰذا تکامل منتشر ہوتا ہے۔ 'بنیادی قدر' ایک مختلف (کمزور) تصور ہے۔
  • غلط pp-آزمائش سمت: ∞\infty پر، 1/xp1/x^p، p>1p > 1 کے لیے یکجا ہوتا ہے۔ 00 پر، یہ p<1p < 1 کے لیے یکجا ہوتا ہے۔ یہ متضاد ہیں — دونوں یاد رکھیں۔
  • تکامل سے پہلے یکجائی کی تصدیق نہ کرنا: ایک منتشر ناقص تکامل کی کوئی قدر نہیں ہوتی۔ ہمیشہ پہلے یکجائی جانچیں۔

Examples

Step 1: حد کو حد سے بدلیں: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: ضد مشتق نکالیں: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: حدود لاگو کریں: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: جیسے t→∞t \to \infty، e−t→0e^{-t} \to 0، لہٰذا حد 11 کے برابر ہے
Answer: 11 (یکجا)

Step 1: p=1p = 1 کے ساتھ pp-آزمائش لاگو کریں: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx یکجا ہوتا ہے صرف اگر p>1p > 1
Step 2: یہاں p=1p = 1، لہٰذا تکامل منتشر ہوتا ہے
Step 3: حد سے تصدیق کریں: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: منتشر

Step 1: x=0x = 0 پر یکتائی۔ 00 پر pp-آزمائش استعمال کریں: 1/xp1/x^p یکجا ہوتا ہے صرف اگر p<1p < 1
Step 2: یہاں p=1/2<1p = 1/2 < 1، لہٰذا یہ یکجا ہوتا ہے
Step 3: حساب کریں: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (یکجا)

Frequently Asked Questions

ایک ناقص تکامل یکجا ہوتا ہے اگر اس کی تعریف کرنے والی حد محدود ہو۔ ورنہ یہ منتشر ہوتا ہے، یعنی منحنی کے نیچے کا رقبہ یا تو لامحدود ہے یا غیر معین۔

p-آزمائش [1, ∞) یا (0, 1] پر ∫1/x^p شکل کے تکامل پر لاگو ہوتی ہے۔ یہ موازنے کے طور پر سب سے زیادہ مفید ہے: اگر آپ کا تکاملی غیر متناہی طور پر 1/x^p کی طرح رویہ کرے، تو آپ تیزی سے یکجائی کا تعین کر سکتے ہیں۔

ایک ناقص تکامل مطلق طور پر یکجا ہوتا ہے اگر ∫|f| یکجا ہو۔ یہ مشروط طور پر یکجا ہوتا ہے اگر ∫f یکجا ہو لیکن ∫|f| منتشر ہو۔ مطلق یکجائی سختی سے زیادہ مضبوط ہے۔

ہاں — رقبہ لامحدود ہو سکتا ہے۔ ∫_1^∞ 1/x dx معیاری مثال ہے: منحنی y = 1/x، [1, ∞) پر ہر جگہ مثبت ہے، پھر بھی نیچے کا رقبہ لامحدود ہے (منتشر)۔

Related Solvers

تکامل کیلکولیٹرحد کیلکولیٹرسلسلہ کیلکولیٹر
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving