دوہرا تکامل کیلکولیٹر

ایک دوہرا تکامل کسی فنکشن $f(x, y)$ کے دو جہتی علاقے $D$ پر جمع کا حساب لگاتا ہے:

$\iint_D f(x,y)\,dA$

جہاں $dA$ لامتناہی صغیر رقبہ عنصر ہے۔ کارٹیشی متناسق میں $dA = dx\,dy$؛ قطبی متناسق میں $dA = r\,dr\,d\theta$۔

عام طبیعی معنی:

• $f(x,y) = 1$ سے $D$ کا رقبہ ملتا ہے۔
• $f(x,y) = h(x,y)$ (اونچائی فنکشن) سے $D$ کے اوپر سطح $z = h(x,y)$ کے نیچے کا حجم ملتا ہے۔
• $f = \rho(x,y)$ (سطحی کثافت) سے ایک پتلی پلیٹ کی کمیت ملتی ہے۔

اہم مہارتیں ہیں: متناسق منتخب کریں، حدود ترتیب دیں، اور فوبینی کے مسئلے کا استعمال کرتے ہوئے بار بار واحد تکامل کے طور پر حل کریں۔

فوبینی کا مسئلہ

مستطیل $D = [a, b] \times [c, d]$ پر مسلسل $f$ کے لیے:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

کوئی بھی ترتیب کام کرتی ہے، لہٰذا وہ منتخب کریں جسے حل کرنا آسان ہو۔

قسم I اور قسم II علاقے

قسم I ($y$، $x$ کے منحنیوں سے محدود):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

قسم II ($x$، $y$ کے منحنیوں سے محدود):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

قطبی متناسق

دائروی تناسب والے علاقوں کے لیے، $x = r\cos\theta$، $y = r\sin\theta$، $dA = r\,dr\,d\theta$ استعمال کریں:

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

جیکوبین سے $r$ کا عامل ضروری ہے — اسے بھولنا سب سے عام غلطی ہے۔

تکامل کی ترتیب کب بدلیں

اگر اندرونی تکامل ناقابل حل ہو جائے (مثلاً، $\int e^{x^2}\,dx$ کا کوئی ابتدائی ضد مشتق نہیں)، تو تکامل کی ترتیب بدلنا اکثر مسئلے کو حل پذیر بنا دیتا ہے۔ دوسری ترتیب میں مساوی حدود نکالنے کے لیے پہلے علاقے کا خاکہ بنائیں۔

• حدود کی غلط ترتیب: اندرونی حدود بیرونی متغیروں پر منحصر ہو سکتی ہیں، لیکن بیرونی حدود ثابت ہونی چاہئیں۔ الٹی = غلط جواب۔
• قطبی جیکوبین بھولنا: $dA = r\,dr\,d\theta$، نہ کہ $dr\,d\theta$۔
• علاقے کا خاکہ نہ بنانا: غیر مستطیل $D$ کے لیے، خاکہ قسم I بمقابلہ قسم II کو واضح کرتا ہے۔
• ناممکن اندرونی فنکشنز کا تکامل کرنے کی کوشش: اگر آپ $\int e^{x^2}\,dx$ یا اسی طرح کے غیر ابتدائی تکاملی پر پہنچیں، تو ہار ماننے سے پہلے ترتیب بدلیں۔
• منفی تکاملیوں کے ساتھ علامت کی غلطیاں: اگر $f$ کی علامت $D$ پر بدلتی ہے، تو دوہرا تکامل صفر ہو سکتا ہے — یہ درست ہے، 'ٹھیک' کرنے والی غلطی نہیں۔