مربع مکمل کرنے کا کیلکولیٹر

مربع مکمل کرنا ایک الجبری تکنیک ہے جس میں دو رقمی $ax^2 + bx + c$ کو اس طرح دوبارہ لکھا جاتا ہے:

$a(x - h)^2 + k$

جہاں $(h, k)$ پیرابولا کا راس ہے۔

یہ کیوں اہم ہے:

• ایک نظر میں پیرابولا کا راس (کم سے کم/زیادہ سے زیادہ نقطہ) ظاہر کرتا ہے۔
• آپ کو دو رقمی فارمولا کے بغیر کوئی بھی دو رقمی مساوات حل کرنے دیتا ہے۔
• وہ بنیادی تکنیک ہے جو دو رقمی فارمولا کو اخذ کرتی ہے۔
• کیلکولس میں $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ نکالنے کے لیے استعمال ہوتی ہے (arctan تک کم ہو جاتی ہے)۔
• گاؤسی تکامل اور طبیعیات کے بہت سے موضوعات سمجھنے کے لیے ضروری ہے۔

بنیادی شناخت جو اسے کام کراتی ہے:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

صورت 1: اہم سرخیل عدد 1 ہے

$x^2 + bx + c$ کے لیے:

1. $b$ کا نصف لیں اور اسے مربع کریں: $(b/2)^2$۔
2. اس مقدار کو جمع اور منفی کریں: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$۔
3. مکمل مربع کو گروپ کریں: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$۔

مثال: $x^2 + 6x + 5$

• 6 کا نصف 3 ہے۔ مربع: 9۔
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

راس شکل: $(x + 3)^2 - 4$، راس $(-3, -4)$ پر۔

صورت 2: اہم سرخیل عدد 1 نہیں ہے

$ax^2 + bx + c$ کے لیے، $a \neq 1$:

1. پہلے دو اجزا سے $a$ کو عامل بنائیں: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$۔
2. قوسین کے اندر مربع مکمل کریں: $b/a$ کا نصف $b/(2a)$ ہے، مربع $b^2/(4a^2)$ ہے۔
3. اندر جمع اور منفی کریں: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$۔
4. سادہ کریں: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$۔

نوٹ کریں کہ جب آپ جمع کی گئی شے کو 'واپس' کرتے ہیں، تو آپ $a$ سے ضرب دیتے ہیں کیونکہ اندر کا حصہ $a$ سے ضرب ہوا ہے۔

دو رقمی مساوات حل کرنا

$ax^2 + bx + c = 0$ کے لیے:

1. $a(x - h)^2 + k = 0$ حاصل کرنے کے لیے مربع مکمل کریں۔
2. مربع شدہ شے کو الگ کریں: $(x - h)^2 = -k/a$۔
3. مربع جذر لیں: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$۔
4. حل کریں: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$۔

یہ بنیادی طور پر وہی ہے جو دو رقمی فارمولا ایک واحد مختصر اظہار میں کرتا ہے۔

• توازن بھولنا: جب آپ $(b/2)^2$ جمع کرتے ہیں، تو آپ کو اسے منفی بھی کرنا ہوگا۔ ورنہ آپ نے اظہار بدل دیا ہے۔
• غلط سرخیل عدد کا انتظام: اگر $a \neq 1$، تو آپ کو مربع مکمل کرنے سے پہلے پہلے دو اجزا سے $a$ عامل بنانا ہوگا، پھر واپس تقسیم کرتے وقت اپنی تصحیح کو $a$ سے ضرب دیں۔
• $\pm$ کے ساتھ علامت کی غلطیاں: مربع جذر لینے کے بعد، دونوں شاخیں رکھنی ہوں گی۔ $\pm$ چھوڑنے سے ایک حل ضائع ہوتا ہے۔
• $b$ کا نصف بمقابلہ $b/2a$: جب اہم سرخیل عدد 1 ہو، $b$ کا نصف لیں۔ جب نہ ہو، پہلے عامل بنائیں — پھر نئے سرخیل عدد کا نصف لیں۔
• ثابت کو سادہ کرنا بھولنا: مربع مکمل کرنے کے بعد، بچے ہوئے ثابتوں کو ایک واحد $k$ میں ملائیں۔