مشتق بمقابلہ تفاضل

مشتق اور تفاضل قریبی طور پر متعلق مگر الگ ریاضیاتی اشیاء ہیں، اور انہیں خلط ملط کرنا کئی باریک کیلکولس غلطیوں کا منبع ہے۔

مشتق

مشتق $f'(x)$ (یا $\frac{dy}{dx}$) ایک فنکشن ہے جو ہر $x$ پر $f$ کی شرحِ تبدیلی دیتا ہے۔ $f(x) = x^2$ کے لیے، $f'(x) = 2x$۔

عددی طور پر: $x = 3$ پر، $f'(3) = 6$ — اس نقطے پر مماسی خط کی ڈھلوان۔

تفاضل

تفاضل $dy$ $y$ میں ایک متناہی الصغر تبدیلی ہے جو $x$ میں متناہی الصغر تبدیلی $dx$ کے مطابق ہے:

$dy = f'(x) \, dx$

$y = x^2$ کے لیے: $dy = 2x \, dx$۔

تفاضل آپ کو مشتقات کو متناہی الصغروں کے تناسب کے طور پر لکھنے دیتے ہیں — تبدیلی ($u$-تبدیلی تکاملات میں: $du = u'(x) dx$) اور تفریقی مساوات کے لیے متغیرات کی جدائی میں مفید۔

فرق کب اہم ہوتا ہے

تکاملات میں: $\int 2x \, dx$ تفاضل $dx$ استعمال کرتا ہے، مشتق نہیں۔

ضمنی تفریق میں: $x^2 + y^2 = 25$ سے، تفاضل لیں: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$، پھر $\frac{dy}{dx}$ کے لیے حل کریں۔

طبیعیات میں: $dW = F \, dx$ (تفاضل کے طور پر کام)، نہ کہ "کام قوت کے مشتق کے برابر ہے"۔

خطی تخمینہ

$dy$ چھوٹے $dx$ کے لیے $\Delta y$ (اصل تبدیلی) کے خطی تخمینے کے طور پر بھی کام کرتا ہے:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

یہ خطا کے پھیلاؤ، نیوٹن طریقہ، اور پورے کیلکولس کی خطی تخمینہ بنیاد کا اساس ہے۔

فیصلہ

جب آپ کوئی شرح / فنکشن چاہتے ہیں تو مشتق $f'(x)$ استعمال کریں۔ جب آپ کوئی متناہی الصغر تبدیلی چاہتے ہیں، خصوصاً تکاملات، تبدیلی، یا تفریقی مساوات میں، تو تفاضل $dy = f'(x) dx$ استعمال کریں۔