پرزم اور ڈبے

مکعب

$V = s^3$

ضلع کا مکعب۔ $s$ ضلعی مکعب کو $s^3$ یونٹ مکعبوں سے بھرا جا سکتا ہے — یونٹ مربع دلیل کا 3D ورژن۔

مستطیلی پرزم

$V = l \cdot w \cdot h$

لمبائی × چوڑائی × اونچائی۔ بنیاد کا رقبہ $l w$ ، $h$ پرتیں جوڑیں تو $lwh$ ملتا ہے۔

عمومی پرزم

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

بنیاد کا رقبہ × اونچائی۔ کیولیئری اصول کے مطابق یکساں کراس سیکشن اور اونچائی والے تمام پرزموں کا حجم برابر ہوتا ہے — مثلثی، شش رکنی، ترچھا، سب اسی فارمولے سے۔

اہرام، مخروط اور کٹا مخروط

اہرام (عمومی)

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

مساوی پرزم کا تہائی۔ "تہائی" $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ کو 0 سے $h$ تک انٹیگریٹ کرنے سے ملتی ہے — کراس سیکشن خطی طور پر کم ہوتا ہے۔

مخروط

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

اہرام جیسا ہی "تہائی" اصول، گول بنیاد $\pi r^2$ ۔ یکساں بنیاد و اونچائی والے تین مخروط ایک استوانے کو پورا بھر دیتے ہیں۔

کٹا مخروط

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

دو متوازی دائروی چہرے، رداس $R$ (نیچے) اور $r$ (اوپر)، اونچائی $h$ ۔ بڑے مخروط سے چھوٹا مخروط منہا کرکے اخذ ہوتا ہے؛ $Rr$ کا حصہ مکعبوں کے فرق سے آتا ہے۔

استوانے

استوانہ

$V = \pi r^2 h$

عمومی پرزم کا خصوصی معاملہ: گول بنیاد $\pi r^2$ کو اونچائی $h$ تک جوڑا گیا۔ کیولیئری اصول کے ذریعے ترچھے استوانے بھی اسی فارمولے سے۔

کھوکھلا استوانہ (پائپ)

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

بیرونی استوانے کا حجم منفی اندرونی استوانے کا حجم — حلقے والی منہا تکنیک کا 3D ورژن۔

کرات اور بیضوی اجسام

کرہ

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

مشہور $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ ۔ آرکیمیڈس کا نتیجہ: کرے کا حجم اس کے گرد سب سے چھوٹے استوانے کا بالکل $\tfrac{2}{3}$ ہے۔

نصف کرہ

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

کرے کا نصف — $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ کا بالکل نصف۔ گنبد، پیالے اور انٹیگرل سیٹ اپ کے لیے مفید۔

بیضوی جسم

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

تین نصف محور $a, b, c$ ۔ جب $a = b = c = r$ ہو تو کرہ $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ ملتا ہے: کرہ بیضوی جسم کی خصوصی شکل ہے۔

ٹورس (ڈونٹ)

$V = 2\pi^2 R r^2$

بڑا رداس $R$ (مرکز سے ٹیوب کے مرکز تک)، چھوٹا رداس $r$ (ٹیوب)۔ پاپس کا اصول: رقبہ $\pi r^2$ کو $2\pi R$ احاطے والے دائرے کے گرد گھمایا گیا۔

حجم Formulas