ผู้บริโภคร้อยละห้าสิบชอบซื้อเครื่องใช้ไฟฟ้าออนไลน์ สุ่มเลือกผู้บริโภคมาแปดคน จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนคนที่ชอบซื้อออนไลน์เป็น (ก) ห้าคนพอดี (ข) มากกว่าห้าคน และ (ค) ไม่เกินห้าคน

Step-by-step solution

1. 1

   ตั้งแบบจำลองทวินามและใช้ประโยชน์จาก p = 0.5 ในที่นี้ $X\sim B(8,0.5)$ และ

   $P(X=k)=\binom{8}{k}(0.5)^{k}(0.5)^{8-k}=\frac{\binom{8}{k}}{2^{8}}=\frac{\binom{8}{k}}{256}.$

   เนื่องจาก $p=0.5$ เลขชี้กำลังของ $p$ กับ $1-p$ จึงรวมเป็น $2^{-8}$ ตัวเดียว ความน่าจะเป็นทุกค่าจึงเป็นเพียงสัมประสิทธิ์ทวินามหารด้วย $256$

2. 2

   เขียนสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้องออกมา แถวที่ $8$ ของสามเหลี่ยมปาสกาลคือ

   $1,\ 8,\ 28,\ 56,\ 70,\ 56,\ 28,\ 8,\ 1,$

   ซึ่งรวมกันได้ $256$ ตามที่ควรเป็น

3. 3

   (ก) ห้าคนพอดี

   $P(5)=\frac{\binom{8}{5}}{256}=\frac{56}{256}=0.21875\approx 0.219.$

4. 4

   (ข) มากกว่าห้าคน 'มากกว่าห้า' ไม่รวมห้าเอง จึงบวก $k=6,7,8$

   $P(X>5)=\frac{28+8+1}{256}=\frac{37}{256}=0.14453\approx 0.145.$

   คำที่บอกขอบเขตมีความสำคัญ ถ้ารวม $k=5$ เข้าไปด้วยจะได้ $0.363$ แทน

5. 5

   (ค) ไม่เกินห้าคน โดยใช้ส่วนเติมเต็ม 'ไม่เกินห้า' คือทุกอย่างยกเว้น 'มากกว่าห้า' จึงไม่ต้องบวกอะไรใหม่

   $P(X\le 5)=1-P(X>5)=1-\frac{37}{256}=\frac{219}{256}=0.85547\approx 0.855.$

6. 6

   ตรวจการคำนวณและความสมมาตร คำตอบสองข้อที่เป็นส่วนเติมเต็มกันบวกกันได้ $0.145+0.855=1.000$ ✓ อีกทั้ง $p=0.5$ ทำให้การแจกแจงสมมาตรรอบค่าเฉลี่ย $np=4$ ดังนั้น $P(X=5)=P(X=3)$ และ $P(X>5)=P(X<3)$ ซึ่งเป็นวิธีเร็ว ๆ ในการจับสัมประสิทธิ์ที่หลุดไป