ผู้ใหญ่ชาวสหรัฐฯ ร้อยละหกสิบหกมีความเชื่อมั่นในหนังสือพิมพ์น้อยมาก สุ่มเลือกผู้ใหญ่มาสิบคน จงหาความน่าจะเป็นที่จำนวนคนที่มีความเชื่อมั่นน้อยมากเป็น (ก) ห้าคนพอดี (ข) อย่างน้อยหกคน และ (ค) น้อยกว่าสี่คน

Step-by-step solution

1. 1

   ตรวจว่าแบบจำลองทวินามใช้ได้ มีการเลือก $n=10$ ครั้งที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ละครั้งได้ผลว่า 'มีความเชื่อมั่นน้อยมาก' หรือไม่ ด้วยความน่าจะเป็นคงที่ $p=0.66$ ดังนั้น $X\sim B(10,0.66)$ และ

   $P(X=k)=\binom{10}{k}(0.66)^{k}(0.34)^{10-k}.$

2. 2

   ข้อ (ก): ห้าคนพอดี

   $P(5)=\binom{10}{5}(0.66)^{5}(0.34)^{5}=252(0.12523)(0.00454)=0.143.$

3. 3

   ข้อ (ข): อย่างน้อยหกคน บวกพจน์ตั้งแต่ $k=6$ ถึง $k=10$

   $P(X\ge 6)=0.23195+0.25729+0.18729+0.08079+0.01568=0.773.$

   หางข้างนี้ใหญ่กว่าเพราะค่าเฉลี่ย $np=6.6$ ตกอยู่ในหางนี้

4. 4

   ข้อ (ค): ตัดสินว่าจะใช้ส่วนเติมเต็มหรือไม่ 'น้อยกว่าสี่' หมายถึง $k=0,1,2,3$ คือสี่พจน์ ส่วนเติมเต็ม $P(X\ge 4)$ จะต้องใช้เจ็ดพจน์ การบวกตรง ๆ ในที่นี้จึงสั้นกว่า ส่วนเติมเต็มเป็นทางลัดเฉพาะเมื่อเหตุการณ์ที่ต้องการมีกรณีมากกว่าเหตุการณ์ที่ไม่ต้องการ

5. 5

   คำนวณทั้งสี่พจน์

   $P(0)=(0.34)^{10}=0.0000206,\qquad P(1)=10(0.66)(0.34)^{9}=0.0004007,$
   $P(2)=45(0.66)^{2}(0.34)^{8}=0.0035005,\qquad P(3)=120(0.66)^{3}(0.34)^{7}=0.0181203.$

6. 6

   บวกแล้วปัดเศษ

   $P(X<4)=0.0000206+0.0004007+0.0035005+0.0181203=0.02204\approx 0.022.$

   ค่านี้เล็ก ซึ่งเป็นไปตามคาด เพราะเมื่อค่าเฉลี่ยของการสำเร็จอยู่ที่ $6.6$ การเห็นสามครั้งหรือน้อยกว่าย่อมอยู่ไกลออกไปในหางล่าง