คานยื่น AB ยาว 5 ม. ยึดแน่นที่ B มีน้ำหนักจุดกดลง 1800 kN ที่ปลายอิสระ A และน้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ 500 kN/m กระทำตลอด 4 ม. ที่อยู่ใกล้จุดรองรับ (จาก 1 ม. ถึง 5 ม. วัดจาก A) จงหาแรงเฉือนสูงสุดและโมเมนต์ดัดสูงสุด พร้อมอธิบายแผนภาพแรงเฉือนและโมเมนต์ดัด

Step-by-step solution

1. 1

   สังเกตว่าค่าสุดขีดต้องเกิดขึ้นที่ใด บนคานยื่นที่รับเฉพาะน้ำหนักกดลง ทั้งแรงเฉือนและโมเมนต์ดัดจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องจากศูนย์ที่ปลายอิสระไปจนถึงค่าสูงสุดที่ปลายยึดแน่น เราจึงคำนวณค่าสูงสุดทั้งสองที่ $B$ ได้โดยตรงโดยไม่ต้องไล่หาจุดวกกลับภายใน

2. 2

   แทนน้ำหนักแผ่ด้วยแรงลัพธ์ของมัน UDL กระทำตลอด $4$ ม.

   $W=wL_u=500\times 4=2000\ \text{kN}$

   กระทำที่เซนทรอยด์ของช่วงที่มันแผ่อยู่ ซึ่งอยู่ห่างจาก $B$ เป็นระยะ $2$ ม. (หรือ $3$ ม. จาก $A$) แรงลัพธ์นี้ใช้ได้สำหรับการหา แรงปฏิกิริยาและโมเมนต์ที่ปลาย แต่ตัวแผนภาพเองยังต้องสร้างจากน้ำหนักแผ่

3. 3

   หาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับยึดแน่น สมดุลในแนวดิ่งให้แรงปฏิกิริยา

   $R_B=P+W=1800+2000=3800\ \text{kN}\ (\uparrow)$

   สมดุลของโมเมนต์รอบ $B$ ให้โมเมนต์ยึดแน่น

   $M_B=P\times 5+W\times 2=1800(5)+2000(2)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

4. 4

   สร้างแผนภาพแรงเฉือนจากปลายอิสระ เมื่อวัด $x$ จาก $A$

   $0\le x\le 1:\quad V(x)=1800\ \text{kN (คงที่)}$

   $1\le x\le 5:\quad V(x)=1800+500(x-1)\ \text{(เส้นตรง)}$

   SFD จึงเป็นเส้นแนวนอนที่ $1800$ kN ตลอดหนึ่งเมตรแรก แล้วเป็นเส้นตรงลาดขึ้นไปถึง $1800+500(4)=3800$ kN ที่ $B$ ซึ่งแรงปฏิกิริยาจะปิดแผนภาพกลับสู่ศูนย์

5. 5

   สร้างแผนภาพโมเมนต์ดัด เนื่องจาก $M(x)=\int_0^x V\,dx$ ในเชิงขนาด (คานยื่นดัดแบบหลังโก่ง)

   $0\le x\le 1:\quad M(x)=1800x\ \text{(เชิงเส้น ถึง }1800\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m ที่ }x=1)$

   $1\le x\le 5:\quad M(x)=1800x+250(x-1)^2\ \text{(พาราโบลา)}$

   ที่ $x=5$: $M=9000+250(16)=9000+4000=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$ ตรงกับโมเมนต์ยึดแน่นที่หาได้จากสมดุล

6. 6

   ระบุค่าสูงสุด

   $V_{\max}=3800\ \text{kN},\qquad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$

   ทั้งคู่อยู่ที่ปลายยึดแน่น $B$ และทั้งคู่เป็นศูนย์ที่ปลายอิสระ $A$

   $\boxed{V_{\max}=3800\ \text{kN},\quad M_{\max}=13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}}$

7. 7

   ตรวจสอบไขว้สองเส้นทาง โมเมนต์ที่ $B$ หาได้สองครั้ง ครั้งหนึ่งด้วยสถิตยศาสตร์ ($P\cdot 5+W\cdot 2$) และอีกครั้งด้วยการอินทิเกรตแผนภาพแรงเฉือน ($1800x+250(x-1)^2$ ที่ $x=5$) ทั้งสองให้ $13000\ \text{kN}\!\cdot\!\text{m}$ การที่ค่าจากสมดุลตรงกับค่าจากการอินทิเกรตแผนภาพคือการตรวจมาตรฐานว่าแผนภาพถูกเขียนอย่างสอดคล้องกัน