Chemistry · real student question

แรงดึงดูดระหว่างไอออน Mg2+ กับไอออน S2- เท่ากับ 1.49 x 10^-8 N รัศมีของแอนไอออนเท่ากับ 0.184 nm และรัศมีของแคตไอออนเท่ากับ 0.065 nm ถ้าเลขชี้กำลังบอร์น n = 8 จงคำนวณพลังงานศักย์สุทธิเมื่อไอออนทั้งสองสัมผัสกันพอดี

Question

แรงดึงดูดระหว่างไอออน Mg2+\mathrm{Mg^{2+}} กับไอออน S2−\mathrm{S^{2-}} เท่ากับ 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N} รัศมีแอนไอออนเท่ากับ 0.184 nm0.184\ \mathrm{nm} และรัศมีแคตไอออนเท่ากับ 0.065 nm0.065\ \mathrm{nm}

ถ้าเลขชี้กำลังบอร์น n=8n=8 จงคำนวณพลังงานศักย์สุทธิ EnetE_{\text{net}} เมื่อไอออนทั้งสองสัมผัสกันพอดี

Step-by-step solution

  1. หาระยะห่างขณะสัมผัสกัน คำว่า "สัมผัสกันพอดี" หมายความว่าระยะจากศูนย์กลางถึงศูนย์กลางเท่ากับผลบวกของรัศมีไอออน และนี่ก็คือระยะสมดุล r0r_0 ด้วย

    r0=0.065+0.184=0.249 nm=2.49×10−10 m.r_0=0.065+0.184=0.249\ \mathrm{nm}=2.49\times 10^{-10}\ \mathrm{m}.

  2. ดึงค่าคงตัวของแรงดึงดูดออกมาจากแรงที่โจทย์ให้ แรงดึงดูดคูลอมบ์อยู่ในรูป F=Ar2F=\dfrac{A}{r^2} โดย A=k ∣z1z2∣e21A=\dfrac{k\,|z_1 z_2|e^2}{1} รวบค่าคงตัวเรื่องประจุไว้ทั้งหมด แทนที่จะไปเปิดหาค่าเหล่านั้น ให้อ่านค่า AA ออกมาจากแรงที่วัดได้โดยตรง

    A=Fr02=(1.49×10−8)(2.49×10−10)2=9.24×10−28 J⋅m.A=F r_0^{2}=\left(1.49\times 10^{-8}\right)\left(2.49\times 10^{-10}\right)^{2}=9.24\times 10^{-28}\ \mathrm{J\cdot m}.

  3. เขียนแบบจำลองบอร์นสำหรับพลังงานสุทธิ แรงดึงดูดกับแรงผลักระยะสั้นรวมกันเป็น

    Enet=−Ar+Brn,E_{\text{net}}=-\frac{A}{r}+\frac{B}{r^{n}},

    โดยพจน์แรงผลักพุ่งขึ้นชันมาก (ในที่นี้ n=8n=8) และเป็นตัวกันไม่ให้ไอออนยุบเข้าหากัน

  4. ใช้เงื่อนไขสมดุลกำจัด BB ที่ r=r0r=r_0 พลังงานมีค่าต่ำสุด ดังนั้น dEdr=0\dfrac{dE}{dr}=0

    Ar02−nBr0 n+1=0 ⟹ B=A r0 n−1n.\frac{A}{r_0^{2}}-\frac{nB}{r_0^{\,n+1}}=0\ \Longrightarrow\ B=\frac{A\,r_0^{\,n-1}}{n}.

    แทนกลับเข้าไปจะยุบแบบจำลองสองพจน์ให้เหลือนิพจน์เดียวที่สะอาด

    Enet=−Ar0+Anr0=−Ar0(1−1n).E_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}+\frac{A}{n r_0}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right).

    นี่คือเหตุผลที่ไม่ต้องคำนวณ BB เลย เพราะที่จุดสมดุล แรงผลักจะหักล้างเศษส่วน 1/n1/n ของแรงดึงดูดเสมอ

  5. แทนตัวเลขลงไป เมื่อ n=8n=8 ค่าในวงเล็บคือ 78\tfrac78

    Ar0=9.24×10−282.49×10−10=3.71×10−18 J,Enet=−78(3.71×10−18)≈−3.25×10−18 J.\frac{A}{r_0}=\frac{9.24\times 10^{-28}}{2.49\times 10^{-10}}=3.71\times 10^{-18}\ \mathrm{J},\qquad E_{\text{net}}=-\frac{7}{8}\left(3.71\times 10^{-18}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}.

    เครื่องหมายลบยืนยันว่าเป็นคู่ไอออนที่ถูกยึดเหนี่ยวไว้และเสถียร

  6. ตรวจแรงที่โจทย์ให้กับกฎของคูลอมบ์ เมื่อ z1=+2z_1=+2, z2=−2z_2=-2, k=8.988×109k=8.988\times 10^{9} และ e=1.602×10−19 Ce=1.602\times 10^{-19}\ \mathrm{C}

    F=k (2e)(2e)r02=1.488×10−8 N,F=\frac{k\,(2e)(2e)}{r_0^{2}}=1.488\times 10^{-8}\ \mathrm{N},

    ซึ่งตรงกับ 1.49×10−8 N1.49\times 10^{-8}\ \mathrm{N} ที่โจทย์อ้าง ข้อมูลจึงสอดคล้องกันเอง

Answer

Enet=−Ar0(1−1n)≈−3.25×10−18 JE_{\text{net}}=-\frac{A}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)\approx -3.25\times 10^{-18}\ \mathrm{J}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions