จงหาลิมิตเมื่อ x เข้าสู่บวกอนันต์ ของ sinh x หารด้วยรากที่สองของ cosh 2x

Step-by-step solution

1. 1

   แปลสัญกรณ์และสังเกตรูปแบบ $\operatorname{sh}x=\sinh x = \tfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ และ $\operatorname{ch}(2x)=\cosh 2x = \tfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$ ทั้งคู่ระเบิดขึ้นเมื่อ $x\to\infty$ ผลหารจึงเป็น $\tfrac{\infty}{\infty}$ - ยังไม่กำหนดจนกว่าจะเทียบอัตราการเติบโตกัน

2. 2

   ดึงเลขชี้กำลังที่มีอิทธิพลสูงสุดออกจากตัวเศษ $\sinh x = \frac{e^x}{2}\left(1-e^{-2x}\right).$ วิธีนี้แยกส่วนที่โต ($e^x$) ออกจากวงเล็บที่ลู่เข้าสู่ $1$

3. 3

   ทำแบบเดียวกันใต้กรณฑ์ $\cosh 2x = \frac{e^{2x}}{2}\left(1+e^{-4x}\right) \Longrightarrow \sqrt{\cosh 2x} = \frac{e^{x}}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}.$ การถอดรากที่สองลดเลขชี้กำลังลงครึ่งหนึ่ง ตัวส่วนจึงโตในอัตรา $e^x$ เช่นกัน - อัตราทั้งสองตรงกัน ซึ่งเป็นเหตุผลที่ลิมิตเป็นจำนวนจำกัดและไม่เป็นศูนย์

4. 4

   ตัดตัวประกอบร่วมทิ้ง $\frac{\sinh x}{\sqrt{\cosh 2x}} = \frac{\frac{e^x}{2}(1-e^{-2x})}{\frac{e^x}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-e^{-2x}}{\sqrt{1+e^{-4x}}}.$

5. 5

   หาลิมิตของวงเล็บที่เหลือ เมื่อ $x\to+\infty$ จะได้ $e^{-2x}\to0$ และ $e^{-4x}\to0$ เศษส่วนจึงลู่เข้าสู่ $\tfrac{1}{1}=1$ และ $\lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sh}x}{\sqrt{\operatorname{ch}2x}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.70711.$

6. 6

   ตรวจความสมเหตุสมผลด้วยเส้นทางเอกลักษณ์และค่าตัวเลข เนื่องจาก $\cosh 2x = 1+2\sinh^2 x$ ผลหารเท่ากับ $\sinh x/\sqrt{1+2\sinh^2x} \to 1/\sqrt2$ เมื่อ $\sinh x\to\infty$ - คำตอบเดียวกัน ที่ $x=30$ ค่าที่คำนวณตรง ๆ เป็น $0.7071067812$